ИНТЕГРАЛ

Определение интеграла. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где C R. Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается f(x)dx. f(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J. f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Традиции начертания Русскоязычная традиция начертания знака интеграла отличается от принятой в некоторых западных странах. В англоязычной традиции, реализованной в системе LaTeX, символ существенно наклонён вправо. Немецкая форма интеграла вертикальна. В русскоязычной литературе символ выглядит так.

Криволинейная трапеция Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Изображения криволинейных трапеций:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е.

Доказательство : Рассмотрим функцию S( x), определенную на отрезке [a; b]. Если a < x b, то S( x ) – площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a, то S ( a ) = o. Отметим, что S ( b) = S ( S – площадь криволинейной трапеции ). Нам осталось доказать, что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ΔS(x) f ( x ) (3) Δ x при Δ x 0

Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x). Для простоты рассмотрим случай Δ x > 0. Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x), то ΔS ( x) – площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак, мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ]. имеем : S ( x ) = F (x) + C, где C – некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции F. Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ). Следовательно, S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ), подставляя x = b в формулу ( 4 ), получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

Формула Ньютона– Лейбница. Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод: если F – первообразная для b на [a;b], то b f(x)dx = F(b)–F(a) a b b f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a) a a

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х²и у=0 Решение: 1. Построим криволинейную трапецию: у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2. Найдём [а; b]: 4-х²= 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Дом.задание. Ответы на вопросы. 1. Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). 2. Может ли быть функция f отрицательной на отрезке [a; b]? Почему? 3. Определение первообразной. 4. Правила нахождения первообразных. 5. Если f – … на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна … ? Чему?