Линейное уравнение в целых числах Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Однородное уравнение в целых числах Линейным уравнением в целых числах называется уравнение вида (1) где коэффициенты свободный член b и неизвестные целые числа. Любой набор, где целые числа, удовлетворяющий уравнению (1), называется целочисленным решением уравнения (1). Если уравнение (1) не имеет целочисленных решений, то говорят, что оно не разрешимо в целых числах.

Уравнение ax + by = c (2) есть линейное уравнение с двумя неизвестными. Если в уравнении (2) с = 0, то оно называется однородным уравнением. Однородное уравнение ax + by = 0 имеет бесконечное множество решений в целых числах. Пример 1. Решить уравнение 5 x + 2 y = 0 в целых числах. Решение. Пусть х = 2n; имеем 5 2n + 2y =0, тогда y = 5n, где nпроизвольное целое число. В результате получаем бесконечное множество решений вида (2n; 5n), где nпроизвольное целое число.

Неоднородное уравнение в целых числах Уравнение ax + by = c, c 0 есть неоднородное линейное уравнение с двумя неизвестными. Решение. Это уравнение не имеет решения в целых числах, так как при любых x, y левая часть уравнения есть число, делящееся на 2, а правая число 17, которое на 2 не делится. Таким образом, данное уравнение не разрешимо в целых числах. Пример 2. Решить уравнение 4 x 6y = 17 в целых числах.

Пример 3. Решить уравнение 4 x 6y = 18 в целых числах. Решения этого уравнения можно найти способом, основанным на следующей теореме: Если пара чисел есть какое-либо решение уравнения ax + by = c, то все его решения задаются формулами можно «угадать».

Решение. Очевидно, что пара (3; 1) есть решение этого уравнения, тогда x =36n, y = 14n, nцелое число. Итак, надо решить уравнение 4 x 6y = 18 в целых числах. Решим указанным способом некоторые из уравнений

Решение. Очевидно, что пара (1; 2) есть решение этого уравнения, тогда x =1 + 2 n, y = 23n, nцелое число. Ответ:(1 + 2 n; 23n), nцелое число. Пример 4. Решить уравнение 3x +2y = 7 в целых числах.

Пример 5. Решить уравнение 11x 3y = 14 в целых числах. Решение. Очевидно, что пара (1; 1) есть решение этого уравнения, тогда x =13n, y = 111n, nцелое число. Пример 6. Решить уравнение 2x 3y = 8 в целых числах. Решение. Очевидно, что пара (7; 2) есть решение этого уравнения, тогда x =73n, y = 22n, nцелое число.

Решение. Разделим обе части уравнения на наибольший общий делитель чисел 4, 6, 18, т. е. на число 2, имеем 2 x 3y = 9. Из этого уравнения выразим неизвестное с меньшим (по модулю) коэффициентом: Далее из полученной дроби выделим целую часть: Рассмотрим другие способы решения уравнения 4x 6y = 18 в целых числах.

Считая x и y целыми, заключаем, что последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда целым числом является дробь Пусть и nцелое число. Тогда, выразив y получим y = 2n1. Подставим найденное выражение y в равенство для нахождения x:

Итак, найдены все решения данного уравнения: Ответ: Пример 7. Решить уравнение 7x 19y = 145 в целых числах. Решение. Разрешим уравнение относительно неизвестного с меньшим (по модулю) коэффициентом: Рассмотренный в этом примере метод решения называют методом последовательного деления

При делении целого числа на 7 возможны остатки : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. В данном случае достаточно с помощью семи проб проверить, при каком из значений у =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 неизвестное х будет целым. Подставляя последовательно указанные числа в равенство убеждаемся, что при у =6 значение х = 37, т. е. пара (37;6) есть решение уравнения. Следовательно, все решения данного уравнения можно записать в виде х = 3719n, y = 67n, где nцелое число

Указанный способ позволяет сравнительно просто решить уравнение в целых числах с «небольшими» коэффициентами. Пример 8. Решить уравнение 35x +59y = 1998 в целых числах. Решение. Если воспользоваться методом проб и ошибок, то, возможно придётся выполнить 35 (!) подстановок. Это довольно много. Воспользуемся методом последовательного деления. Сначала выразим из уравнения неизвестное с меньшим по модулю коэффициентом и выделим целую часть:

Решить уравнение 35x +59y = 1998 в целых числах. Так как х, у целые, то дробь должна быть целым числом. Запишем последнее равенство в виде: 35m+24y = 3, снова выразим неизвестное с меньшим по модулю коэффициентом и выделим целую часть:

Теперь целым числом должна быть дробь Отсюда находим 24k + 11m = 3. Ещё раз выразим m и выделим целую часть: Значит, дробь есть целое число, откуда 11s +2k = 3, тогда Теперь целым числом должна быть дробь откуда s = 1 2n, n целое число

Подставляя найденное выражение сначала в (4), затем в (3) и, наконец, в (2), получим у = Остаётся подставить это выражение в равенство (1): Итак, все решения уравнения можно записать в виде: х = 79 59n, у = 3513, где n целое число Проверка: 35(7959n)+59(13+35n)=1998 при любых n.

Рассмотрим решение уравнений в целых числах, применяя другие методы рассуждений. Пример 9. Решить уравнение 19x 5y = 119 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде: 20 х 5 у= х, 5(4 х у) = х. Заметим, что 1 + х должно быть кратно 5 Обозначим: 1 + х = 5k, тогда х = 5k + 1. Выражение для х подставим в исходное уравнение, получим: 19(5k +1) 5y=119, 5 у = 195k 100, у = 19k 20. Ответ: х = 5k + 1, y= 19k 20, kцелое число

Пример 10. Решить уравнение 7x 4y = 29 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде: 8 х 4 у= х, 4(2 х у) = х. Заметим, что 1 + х должно быть кратно 4. Обозначим: 1 + х = 4k, тогда х = 4k 1. Выражение для х подставим в исходное уравнение, получим: 7(4k 1) 4y=29, 4 у = 74k 36, у = 7k 9. Ответ: х = 4k 1, y = 7k 9, kцелое число

Пример 11. Решить уравнение 17x 49y = 8 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде: 17 х 51 у = 82 у, 17(х 3 у) = 2(4 + у). Заметим, что 4 + у должно быть кратно 17. Обозначим: 4 + у = 17k, тогда у = 17k 4. Выражение для у подставим в исходное уравнение, получим: 17 х 49(17k 4) = 8, 17 х 4917k +196 =8, 17 х = 4917k 204, х = 4912k. Ответ: х = 4912k, y = 17k 4, kцелое число

Пример 13. Решить уравнение 8x + 14y = 32 в целых числах. Пример 12. Решить уравнение 2x 3y = 8 в целых числах. Ответ: х = 47k, y = 4k, kцелое число Ответ: х = 3k 4, y = 2k, kцелое число Решить самостоятельно