Умения выполнять действия с функциями (геометрический и физический смысл производной)

В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x f / (x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8 Решение:

В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 5 Решение:

В8. В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x ). f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8 Решение:

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. y = f(x) y x Ответ: 5 a b

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-7; 7) На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10. y = f(x) y x -7 y = 10 Ответ: 5

В8. В8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7). На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6. y = f(x) y x y = 6. В этой точке производная НЕ существует! Ответ: 3

f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) y x Найдем точки, в которых f / (x)=0 (это нули функции). + –– + +

f(x) f / (x) x y = f / (x) y x ––++ Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума, Ответ:

f(x) f / (x) x y = f / (x) y x + ––++ Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1] Ответ:–

f(x) f / (x) x y = f / (x) y x + ––++ Найдите количество точек экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 3; 7] Ответ:

8 2 На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у Решение: O у =f(x) tga =

В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. х х 0 х 0 у O у =f(x) способ 3 х 1 0 х В Решение: у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. (-1; -3) (0; -7) – 7 = b. – 3 = – 1 k + b. – 4 = k k = – 4– Систему можешь решить и своим способом.

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у Решение: O у =f(x) 1 способ 3 х 1 0 х В 8 5 0, 2 1 острый положительно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 положительно. 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Можно найти несколько удобных треугольников, например,…. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3: tga = 4). Переведем дробь в десятичную запись: 4 1

В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. 2 способ Решение: у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b х х 0 х 0 у O у =f(x) 2 способ 3 х 1 0 х В 8 5 0, tga = Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. (-5; 2) (7; 5) 2 = –5k + b. 5 = 7k + b. – 3 = – 12k– :12k =k = k = 3

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у тупой отрицательно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно. Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами- целыми числами. Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например,…. O у =f(x) 1 1 способ 8 2 tga = 3). Найдем тангенс угла – это отношение 1:4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0,25. 3 х 1 0 х В , 1 28

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у Решение: O у =f(x) 1 2 способ 3 х 1 0 х В , Решать подобные задания можно другим способом. у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b Подставим координаты известных точек в уравнение прямой. (-2; -1) (6; -3) – 1 = – 2k + b. – 3 = 6k + b. – 2 = 8k– k = 4 1 – : 8