Физический смысл производной

Содержание: 1. Введение понятия производной; 2. Физический смысл производной; 3. Примеры решения задач; 4. Физический смысл второй производной; 5. Примеры решения задач.

Производная Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, при стремлении последнего к нулю. Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, при стремлении последнего к нулю. f(x) = lim f (x + x) – f (x) x x 0

Правила вычисления производной Производная линейной функции равна её угловому коэффициенту; Производная линейной функции равна её угловому коэффициенту; Если у функций f и g существуют производные, то ( f n ) = nf n-1 f, где n – натуральное число ( Сf ) = C f, где С – число ( f + g ) = f + g ( fg ) = fg + fg f g fg - fg g2g2

Производная сложной функции Пусть функции h(x), g(x), f(x) имеют производные. h( x ) = g( f (x) ) – сложная функция h( x ) = g( f(x) ) f( x )

Физический смысл производной Мгновенная скорость в момент времени t 0 прямолинейного движения, совершаемого по закону x = f (t), равна значению производной функции f при t = t 0. Мгновенная скорость в момент времени t 0 прямолинейного движения, совершаемого по закону x = f (t), равна значению производной функции f при t = t 0. Таким же образом определяют мгновенную скорость других физических процессов: углового вращения, радиоактивность распада и т. д. Таким же образом определяют мгновенную скорость других физических процессов: углового вращения, радиоактивность распада и т. д. v = f (t)

Задачи Материальная точка движется по прямой согласно уравнению Материальная точка движется по прямой согласно уравнению S(t) = 3t 4 - 3t 2 + 6t - 5 (м/с) а) Найдите ее скорость в момент времени t = 4 с. б) В какой момент времени ее скорость равна 6 м/с?

Решение а) 1. Так как производная уравнения движения есть скорость движения материальной точки, то v = ( S(t) ) а) 1. Так как производная уравнения движения есть скорость движения материальной точки, то v = ( S(t) ) 2. ( S(t) ) = 4*3t 3 - 3*2t ( S(t) ) = 4*3t 3 - 3*2t + 6 ( S(t) ) = 12t 3 - 6t + 6 ( S(t) ) = 12t 3 - 6t + 6 v = 12t 3 - 6t + 6 v = 12t 3 - 6t Находим скорость при t = 4: 3. Находим скорость при t = 4: v = 12*64 - 6*4 + 6 v = 12*64 - 6*4 + 6 v = 750 м/с v = 750 м/с

Решение б) v = 12t t + 6 Подставляем значение v = 6 м/с и решаем полученное уравнение: 12t t + 6 = 6 12t t = 0 6t (2t2 - 1) = 0 t = 0 или 12t2 – 6 = 0 t = или t = - - не подходит по условию задачи. Ответ: а) 750 м/с б) при t tt t = 0 с или t tt t = с.

Вторая производная. Ее физический смысл. Пусть функция f имеет производную f Пусть функция f имеет производную f во всех точках промежутка X. Эта производная в свою очередь является функцией от x. Если функция f дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f. Таким образом, f = (f). во всех точках промежутка X. Эта производная в свою очередь является функцией от x. Если функция f дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f. Таким образом, f = (f).

Вторая производная выражает скорость изменения первой производной, или, как говорят, ускорение изменения данной функции. Если x = f (t) – координата прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то x = f (t) равно ускорению этой точки в этот же момент времени: a = v = (x) = x.

Задача Материальная точка движется по прямой согласно уравнению Материальная точка движется по прямой согласно уравнению s(t) = t 3 - 2t t – 15 (м/с) а) В какой момент времени ускорение будет равно 8 м/с 2. б) Какое ускорение будет в момент времени t = 2 с?

Решение а) 1. Находим ускорение: а = ( s(t) ) = ( (t 3 - 2t t – 15 ) ) =( 3t 2 - 4t ) = 6t – 4 а = ( s(t) ) = ( (t 3 - 2t t – 15 ) ) =( 3t 2 - 4t ) = 6t – 4 2. Приравниваем полученное выражение к 8 - ми : 2. Приравниваем полученное выражение к 8 - ми : 6t – 4 = 8 6t – 4 = 8 t = 2 (с) t = 2 (с)

Решение б) а = 6t – 4 При t = 2 (с) ускорение равно: При t = 2 (с) ускорение равно: а = 6*2-4 а = 6*2-4 а = 8 (м/с 2 ) а = 8 (м/с 2 ) Ответ: а) 2 с б) 8 м мм м/с 2