Электронное справочное пособие Алгебра МБОУ СОШ 4 г. Заполярный, Мурманская область 89

Оглавление 8 класс

Оглавление 9 класс

Алгебраическая дробь Обыкновенная дробь: числитель знаменатель В алгебраической дроби числитель и знаменатель – алгебраические выражения. Алгебраические дроби:

– алгебраическая дробь, где числитель дроби Р(a,b),а знаменатель дроби Q(a,b). P (a,b) и Q (a,b) многочлены от переменных a, b, которые принимают лишь допустимые значения, т.е. такие, что Q (a,b) 0 Определение: Алгебраическая дробь

Основное свойство дроби b a = b a b 0, m 0 m m При умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь m m Можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель Для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель 3ab 15a b b 5a 2 2 = 3ab 5a. b3ab. =

Основное свойство дроби Используется при приведении к общему знаменателю Используется при сокращении дробей

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Разложить все знаменатели выражения на множители == = = = == Ответ

Умножение дробей

Деление дробей

Действительные числа N = { 1; 2; 3; 4;...} Z = N { 0; -1; -2; -3; …} Q = Z R = Q натуральные целые рациональные иррациональные

Арифметический квадратный корень Определение корня О.Д.З. корня Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a – ( ) – называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Свойства квадратного корня

Применение свойств корня = 48

Квадратное уравнение и его корни Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b и с – заданные числа, а 0 Полные квадратные уравнения: ах 2 + bх + с = 0, Неполные квадратные уравнения: ах 2 + bх = 0, с = 0 ах 2 + с = 0, b = 0 ах 2 = 0, b = 0, с = 0 Выделение полного квадрата Графический способ решения

Аналитические способы решения полных квадратных уравнений По свойствам коэффициентов: если а + b + с = 0, то х 1 = 1 и х 2 = с/а если а – b + с = 0, то х 1 = – 1 и х 2 = – с/а По теореме, обратной теореме Виета: для х 2 + рх + q = 0 По формулам корней через дискриминант: D = b 2 – 4 ас D > корня D = корень D < нет корней

ах 2 + bх + с = 0, а 0 Неполные квадратные уравнения c = 0 ах 2 + bх = 0 х(ах + b) = 0 b = 0 ах 2 +с=0 ах 2 =-с х 2 = х 2 =d d 0 нет х = 0 х корней х 4 х 2 +3=0 5 х 2 =0 3 х 2 =27 b = 0, с = 0 ах 2 = 0 х = 0

Выделение квадрата двучлена (x + k) 2 = 0; x + k = 0 x = k (x k) 2 = 0; x k = 0 x = k Алгоритм решения приведенного квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена

Графический способ решения Уравнение ax 2 + bx + c = 0 заменим равносильным уравнением ax 2 = – bx – c. Построим графики функций y = ax 2 и y = – bx – c в одной системе координат. В точках х 1 и х 2 значения обеих функций равны, следовательно, х 1 и х 2 являются корнями уравнения ax 2 + bx + c = 0. Подробнее

x y = x 2 y = – 3x + 4 При х = – 4 y = (– 4) 2 = 16 у = – 3 · (– 4) + 4 = 16 Ответ: – 4 ; 1. y = x 2 Строим графики функций: х 0123 у 0149 y = – 3x + 4 х 01 у 41 x 2 + 3x – 4 = 0 x 2 = – 3x + 4

Разложение квадратного трехчлена на множители Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом: решим квадратное уравнение и найдем корни этого уравнения и. Тогда Пример: Разложить на множители выражение Решаем уравнение Ответ: Корни уравнения

Дробные рациональные уравнения 1. Перенести все члены уравнения в одну сторону за знак равенства. 2. Преобразовать уравнение к виду. 3. Решить уравнение. 4. Проверить корни уравнения под условие. 5. Выбрать в ответ корни уравнения, удовлетворяющие условию. Подробнее

Ответ: Решите уравнение:

Ответ:

Что такое функция x – независимая переменная (меняем сами), аргумент. y – зависит от х по определенному правилу или закону, функция. Если задано х, то х y (единственное) соответствие Допустимые значения х – область определения, Полученные значения y – область значений, По заданному х, можно найти, подставив в формулу функции значение.

Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). х у y=f(х)y=f(х) f (х)(х) Определение функции

Все значения независимой переменной образуют область определения функции х y=f(x) f Область определения функции Область значений функции Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значений функции ООФ и ОЗФ

Способы задания функции 3. Графический – Пусть задана функция. 1. Табличный – запись в виде таблицы конкретных значений переменной х и соответствующих им значений переменной y. 2. Аналитический – запись функциональной зависимости в виде некоторой формулы.

График функции Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (х; у), где х пробегает область определения функции f(x).

y x y = f(x) a y = f(x+a) y = f(x) y = f(x)+b y x b y x y = f(x) y = - f(x) y x y = f(x) y = f(ax) y = f(x) y x y =b f(x) y x y = f(x) Преобразование графика функции

Свойства функций 1) Нули функции, у = 0 (пересечения с осью ОХ). 2) Точки пересечения с осью ОУ, х = 0. 3) Возрастание функции (если x 2 > x 1, то f(x 2 ) > f(x 1 )): с возрастанием аргумента увеличивается значение функции – аргумент и функция связаны одинаковыми знаками. Убывание функции (если x 2 > x 1, то f(x 2 ) < f(x 1 )): с возрастанием аргумента уменьшается значение функции – аргумент и функция связаны противоположными знаками.. 5) Непрерывность функции (разрывы – нельзя провести график не отрываясь). 6) Наибольшее и наименьшее значения функции. 4) Промежутки знакопостоянства: если f(x) > 0, и если f(x) < 0.

Линейная функция Прямопропорциональная зависимость между переменными x и y: приводит к простейшей линейной функции y = kx. Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b – некоторые числа. y = kx прямая y y = kx k > 0 0 x y = kx + b y y = kx + b b k > 0 0 x y = b y 0 x b y = b

гипербола k > 0 I, III четверти k < 0 II, IV четверти Функция и её график свойства

Системы уравнений a 1 x + b 1 y = c 1, где x, y – неизвестные, a 2 x + b 2 y = c 2, a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 – данные числа. Решить систему – значит найти все её решения. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений. Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Решение систем способом сложения Переходим к равносильной системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Решить систему уравнений: (1) Умножим все члены первого уравнения на – 3, а второго уравнения на 2: (2) Почленно сложим уравнения системы (2): Запишем равносильную систему, взяв любое из уравнений системы (1): (3) Решением системы (3), а следовательно и системы (1), является пара чисел: Ответ: (– 3; 0). Пример 1

Ответ: (2; – 5) Пример 1

\ 3\ 4\ 15\ 5\3\ хук уху Пример 2

Решение систем способом подстановки Из какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения. Пример 1 Пример 2

Пример 1 Ответ: (-4; -2,5), (5; 2).

Пример 2 Ответ: (-6; -1), (1; -6).

Решение систем графическим способом Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений. Пример 1 Пример 2

Пример 1 парабола прямая х у Ответ: (1; 0), (4; 3).

Пример 2 х у Ответ: (-1; -1), (1; 3).

Неравенства и их свойства Неравенством называется выражение вида: a b (a b) Основные свойства:

Числовые промежутки

Решение неравенств с одной переменной Неравенство привести к виду: х b (х b), используя основные свойства (перенос слагаемых, умножение или деление обеих частей на одно и то же число). Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида где а и b – действительные числа (кроме а = 0). Пример 1 Пример 2

Пример 1 Решить неравенство : –2(х – 3) > 3(х+5) Раскроем скобки:– 2 х + 6 > 3 х + 15, перенесем слагаемые с неизвестными влево, а слагаемые без неизвестных – вправо, меняя их знаки: – 2 х – 3 х > 15 – 6, приведём подобные, – 5 х > 9, разделим обе части неравенства на отрицательное число – 5, меняя знак неравенства, х < – 1,8.

Пример 2 //////////////////////////////////// х

Решение систем неравенств Пример 1Пример 2Пример 3 Решить систему неравенств – значит найти множество общих решений двух или нескольких неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в неё неравенств.

Пример 1 Решить систему неравенств: //////////////////////////////////// х 2 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 4 Ответ: [2; 4).

Пример 2 Решить систему неравенств: /////////////////// х \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 0 – 0,5

Пример 3 Решить систему неравенств: х \\\\\\\\\\\\\\\\\\ 4 – 0,2 Ответ: нет решений. /////////////////

Степень с целым показателем Определение n – натуральное число, a – основание степени, n – показатель степени.

Определение степени с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем

Стандартный вид числа 317,3 = 3, ; 0, = 3, Пример 1 Пример 2Пример 3

Пример 1 Представить числа в стандартном виде: 1) = 4, = 4, ; 2)0, = 7, = 7, ; 3) = 1,

Пример 2 Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде: 1)(3, )( ) = (3,47)( )= = 23,810 3 = 2, ; 2) (8, )( ) = (8,132)( )= = 16, = 1,

Пример 3 Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде: 1)(15, ):( ) = (15,4:7)(10 15 : )= = 2, (-12) = 2, ; 2) (8, ):( ) = (8,19:9)( : )= = 0, (-21) = 9, = 9,

Действительные числа N = { 1; 2; 3; 4;...} Z = N { 0; -1; -2; -3; …} Q = Z R = Q натуральные целые рациональные иррациональные

Квадратичная функция

Какую функцию называют квадратичной Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где a, b и с - некоторые числа, причём а 0. График любой квадратичной функции – парабола

Функция у = ах² График Пример Свойства Сдвиг Графиком функции y=ax 2, где a0, является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось y; при ветви параболы направлены вверх, при ветви вниз. a>0 a<0

Функция y=ax 2 Построим график функции y=2x 2 x y = 2x2y = 2x x y = -2x а>0 а>0 а 0 у=-2 х 2 х у х у у=2 х 2

Сдвиг графика функции у = ах² 1. Чтобы построить график функции y = ax 2 + n, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси на n единиц вверх, если n > 0, или на |n| единиц вниз, если n < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (0; n). 2. Чтобы построить график функции y = a(x + m) 2, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на m единиц влево, если m > 0, или на |m| единиц вправо, если m < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (- m ; 0). 3. Чтобы построить график функции y = a(x + m ) 2 + n, нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если m >0, или на |m| единиц вправо, если m 0, или на |n| единиц вниз, если n < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (- m; n).

y x y = x2y = x2 y = 2x 2 y = 0,5x 2 1. Д (у) = R 2. Е (у) = [0; +) 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке [0; +) 5. Убывает на промежутке (-; 0] 6. Наименьшее значение равное 0 при х = 0 Свойства функции у = ах² при а > 0

Свойства функции у = ах² при а < 0 x y = - x 2 y = - 2x 2 y = - 0,5x 2 y 1. Д (у) = R 2. Е (у)= (-; 0] 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке (-; 0] 5. Убывает на промежутке [0; +) 6. Наибольшее значение равное 0 при х = 0

График функции у = ax² + bx + c 1 способ 2 способ 3 способ Схема Пример 2Пример 1 Пример 3 Пример 4 Пример 5

Схема построения графика квадратичной функции y=ax 2 +bx+c Построить вершину параболы. Построить вершину параболы. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. Построить дополнительные точки. Построить дополнительные точки. Провести через построенные точки параболу. Провести через построенные точки параболу.

Схема построения параболы: х у у = х 2 – 4 х + 3 Найти координаты Найти координаты вершины параболы: М(2;-1). вершины параболы: М(2;-1). Провести ось симметрии: х = 2. Провести ось симметрии: х = 2. Найти дополнительные точки: Найти дополнительные точки: при х=0, у=3; при х=4, у=3. Соединить полученные точки. Соединить полученные точки.

у xx y90 2 а 2 а 2 а 2 а -b-b-b-b Пример 1

y = ¼ x 2 + 2x – 5 Графиком функции является парабола, ветви параболы направлены вверх, т.к. а = ¼, a>0. M(x 0 ;y 0 )- вершина параболы x 0 = ; x 0 = -2 : ½ = -4 y 0 = ¼ (-4) 2 +2(-4)-5 = -9. M(-4;-9) Прямая х = -4 – ось симметрии Нули функции: y=0 ¼ x 2 + 2x – 5 = 0 x 2 + 8x – 20 = 0 x 1 = -10, x 2 = 2 x0-2y у -b-b2 а 2 а-b-b2 а 2 а x Пример 2

Пример 3 Построим график функции y=x 2 -4x+5. 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x 2 – 4x + 5 = 5. Получаем: х 1 = 0, х 2 = 4 2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ. Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём, то уравнение оси параболы х = 2. 3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х 0 = 2, у 0 = 1. 4) Отмечаем на координатной плоскости точку С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А, В, С. у=х 2 -4 х+5 АВ С 0 х 5 у

Пример 4 Построим график функции y=2(x+1) Будем действовать следующим образом: 1)Построим параболу y=2x 2 ; 2)Перенесем ее на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз – в результате получится график заданной функции y=2(x+1) (см.рис) Действия, которые мы выполнили, можно описать такой схемой: y=2x 2 y=2(x+1) 2 y=2(x+1) Влево на 1 ед. Вниз на 3 ед.

Пример 5 y=-2(x+3) 2 +2 у=-2 х 2 х 12 у АВ М 0 х-3 у 2 у = -2(x+3) 2 +2 m = -3 n = 2

Подробнее Квадратные неравенства

Решить неравенство: - + +

- ++

+ +

+ + Нет решений Решить неравенство:

Метод интервалов х у 0 Пусть функция задана формулой вида В каждом промежутке знак функции сохраняется При переходе через нуль знак функции меняется

? ? ? ? Решить неравенство: f (3) = (3 – 2)(3 + 5)(3 – 4) = – 8 f (0) = (0 – 2)(0 + 5)(0 – 4) = 40f (– 6) = (– 6 – 2)(– 6 + 5)(– 6 – 4) = – 80

Уравнения и системы уравнений

Рациональные выражения Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями. Целые – составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля Дробные – помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Целые уравнения Уравнение с одной переменной называют целым уравнением, если обе его части являются целыми выражениями. Целое уравнение можно свести к линейному или квадратному. Приёмы: разложение на множители, введение новой переменной.

Системы уравнений с двумя переменными В 8 классе слайды

Дробные уравнения рациональное уравнение, где P(x) и Q(x) многочлены. Решение рациональных уравнений: Подробнее

Ответ:

Решение задач

Графическое исследование уравнений Подробнее Уравнение f(x) – g(x) = 0 заменим равносильным уравнением f(x) = g(x). Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) в одной системе координат. В точках х 1 и х 2 значения обеих функций равны, следовательно, х 1 и х 2 являются корнями уравнения f(x) – g(x) = 0.

x y = x 3 y = – 3x + 4 Ответ: х = 1. y = x 3 Строим графики функций: х 012 у 018 y = – 3x + 4 х 01 у 41 x 3 + 3x – 4 = 0 x 3 = – 3x + 4 y

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовые последовательности 1; 2; 3; 4; 5; … - последовательность натуральных чисел; последовательность четных чисел; последовательность нечетных чисел; 1; 3; 5; 7; 9; … - 2; 4; 6; 8; 10; … - 1; 4; 9; 16; 25; … - последовательность квадратов натуральных чисел;

1; 0; 1; 0; 1; 0; … Числовые последовательности 3; 3; 3; 3; 3; 3; … Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности; число, стоящее на первом месте, называют первым членом, на втором месте – вторым членом, …, на п месте – п-м членом. Обозначают : (а п ) : а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; … ; а 100 ; … а п ; …

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером. Числовые последовательности Способы: Формула последовательности Описание п–го члена рекуррентная

Числовые последовательности

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Автор пособия: Чупина Надежда Степановна, учитель математики г.