Последовательности 9 класс МОУ СОШ 4 г. Заполярный

Прогрессии Арифметическая Геометрическая Числовые последовательности Арифметическая прогрессия Определение Формулы Сумма первых п членов Сумма первых п членов Геометрическая прогрессия Определение Формулы Сумма первых п членов Сумма первых п членов

Числовые последовательности 1; 2; 3; 4; 5; … - последовательность натуральных чисел; последовательность четных чисел; последовательность нечетных чисел; 1; 3; 5; 7; 9; … - 2; 4; 6; 8; 10; … - 1; 4; 9; 16; 25; … - последовательность квадратов натуральных чисел;

Числовые последовательности 1; 0; 1; 0; 1; 0; … 3; 3; 3; 3; 3; 3; … Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности; число, стоящее на первом месте, называют первым членом, на втором месте – вторым членом, …, на п месте – п-м членом. Обозначают: а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; … ; а 100 ; … а п ; … (а п ) :

Числовые последовательности Формула Описание п–го члена последовательности рекуррентная Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером. Способы:

Формула п-го члена а п = 2 п а п = 2 п – 1 а п = п а п = п 2 + 1b п = п 2 – пх п = 2 п – 3

Рекуррентная формула а п = 5, а п + 1 = а п + 3 Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться). Например:

Способ описания Последовательность, составленная из двух чисел – нуля и единицы, расположенных соответственно на четных и нечетных местах. Последовательность, составленная из единственного числа. Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; ….

Арифметическая прогрессия Определение: Последовательность, у которой задан первый член a 1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией: an+1 an+1 = an an + d,d, где d – разность прогрессии.

Арифметическая прогрессия a n = a 1 + d(n – 1) a n = a k + d(n – k) 2a n = a n a n + 1 a n + a m = a k + a l,если n + m = k + l 1 2 n a S n a 2 a 1 d(n – 1) 2 S n ·n ·n

Сумма первых п членов 1 2 n a S n a 2 a 1 d(n – 1) 2 S n ·n ·n Доказательство

Доказательство:

Геометрическая прогрессия Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 b1 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q 0, называется геометрической прогрессией: bn+1 bn+1 = bn bn q,q, где q – знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия b n = b 1 q n – 1 b n = b k q n – k b n 2 = b n - 1 b n + 1 b n b m = b k b l, если n + m = k + lb n b m = b k b l, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия n q qb n S 1 )(1 1 q b S 1 1

Сумма первых п членов n q qb n S 1 )(1 1 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия q b S 1 1 Доказательство

Доказательство: