Модуль числа. Уравнения, содержащие модуль Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Данное число 7–3–2,1 а + 32 а –7 Число, противоположное данному –(–3 ) = 3 Заполнить таблицу: 7–(–2,1)=2,1–а – 37 – 2 а Заполнить таблицу: Данное число 4–403–8,7 а² Модуль данного числа а² – (–8,7)=8,7

Вычислить устно и записать ответ: Заполнить пропуски: 1) | 5 | + | – 5 | = _____ 2) | – 6 | + | 6 | = _____ 3) 9 | 5 – 7 | = _____ 4) | 10 – 10 | 7 = _____ 5) – 3 | – 4 | = _____ 5) | – 18 | : | – 3 | = _____ –126 – m m а 0 а < 0

Дописать утверждения: 1) Если a > 0, то а + | а | = __________ а + а = 2 а 2) Если a < 0, то а + | а | = __________ а – а = 0 3) Если a < 0, то а – | а | = ___________________ а – (– а) = а + а = 2a 4) Если a > 0, то а – | а | = __________ а – а = 0 5) Если a > 0, то а : | а | = __________ а : а = 1 6) Если a < 0, то а : | а | = _____________ а : (– а) = – 1 7) Если 1< х < 2, то x + | 1 – x | + 2 | x – 2 | = = __________________________________ x + x – (2 – x) = 2x – – 2x = 3

Геометрический смысл модуля числа. Изобразим на числовой оси, например, точки 5 и 3. х 305 | 3 || 5 | Из рисунка видно, что | 5 | = 5 есть расстояние от точки 0 до точки 5; | 3 | = 3 есть расстояние от точки 0 до точки 3. Итак, геометрически | а | есть расстояние от точки 0 до точки, изображающей число а.

Заполнить пропуски: | а | – это расстояние от точки ____ до той точки, которой отмечено на числовой прямой число ____. 0 а | – 3,2 | – это _____________ от точки 0 до той точки, которой отмечено на числовой прямой число ______. расстояние – 3,2 | – 3,2 | = –(–3,2) = 3,2; Знак « минус» перед числом означает, что рассматривается число _____________________ данному. противоположное Например, –(– 5) = _____, так как противоположным числу –5 является число ____. 5 5 Запись – m означает, что рассматривается число, ______________________ числу m. противоположное

Свойства модуля Модуль число неотрицательное, т. е положительное или равное нулю: | а | 0. | а | = 0, если а = 0. Модули двух противоположных чисел равны | а | = | – а |. Модули равны у равных чисел или у противоположных: | а | = | b |, тогда а = b или а = b. | а |² = а². | а b | = | а | | b |. | а : b | = | а | : | b |, b 0.

Решить уравнение | х | = 6. Решение. Используя определение модуля, имеем: Ответ: ± 3.

Решить уравнение | х 5 | = 3. Решение. Уравнение вида | ах + b | = c, где с 0 равносильно совокупности двух уравнений: ах + b = c или ах + b = c, тогда имеем: Ответ: 2; 8.

Решить уравнение | 7 х | = 1. Решение. Уравнение вида | 7 х | = 1 равносильно совокупности двух уравнений: Ответ: 6; 8.

Решить уравнение | 6 2 х | = 3. Решение. Ответ: 1,5; 4,5.

Решить уравнение | х + 4| = 0. Решение. Данное уравнение может иметь лишь один корень при х + 4 = 0, т. е. х = 4. Ответ: 4. Решить уравнение | 3 х + 7| = 2. Решение. Данное уравнение не имеет корней, так модуль не может быть отрицательным числом. Ответ: нет корней.

Решить уравнение | 2 х 1| = 7. показать Ответ: 3 ; 4.

Решить уравнение | 4 3 х| = 5. показать

* Решить уравнение | 3 х 6 | = х. Решение. Уравнение вида | ах + b | = cх + d, равносильно совокупности двух уравнений: ах + b = cх + d или ах + b = (cх + d), c обязательным условием, что cх + d 0, тогда имеем: Ответ: 1,5; 3.

** Решить уравнение х 1= х 3 показать Ответ: корней нет.

показать ** Решить уравнение 3 4 х 1 = 2 х

* 164 При каких х выполняется равенство: 1) | х + 3 | = х + 3; 2) | х 2 | = 2 х. 1) Решение. Данное равенство будет выполняться, если в ___________ части будет ______________________ число, то есть _________, имеем: ________ правой неотрицательное х х 3. 2) Решение. Рассуждая аналогично, имеем: ___________, откуда __________________, т. е. ________ 2 х 0 1 х 2 : ( 1) х 2.

** 196(4) Решить уравнение | х + 3 | = | х 5 |. Решение. Модули равны у равных или противоположных чисел, очевидно, что х + 3 х 5 при любом х, тогда х + 3 = (х 5), х + 3 = х + 5, 2 х = 2, х = 1. 2 способ. | х + 3 | = | х 5 |, тогда | х + 3 |² = | х 5 |² или ( х + 3 )² = ( х 5 )², х ² + 6 х + 9 = х ² 10 х + 25, 16 х = 16, х = 1. Ответ: 1.

** 196(2) Решить уравнение | х 5 | = | х 8 | показать Решение. Очевидно, что х 5 х 8 при любом х, тогда х 5 = ( х 8 ) или х 5 = х + 8, 2 х = 13, х= 6,5. Ответ: 6,5.

*** Решить уравнение | 3 х 5 | = | 5 2 х | показать