Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств Знакомство с методом мажорант

Метод мажорант На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно следует научиться

Определение Метод мажорант или метод оценки используется (чаще всего) в уравнениях вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) – ограниченные функции, и на области определения данного уравнения наибольшее значение М одной из них равно наименьшему значению М другой. Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f (х) на множестве D( f ) называется такое число М, что либо f(х) М для всех х D( f ), либо f(х) М для всех х D( f ).

Как начинать решать такие задачи? Решить систему уравнений: Привести уравнение или неравенство к виду Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М, из области определения (уравнения или неравенства), что f(x) M и f(x) M. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.

Пример 1. Решите уравнение Решение. Оценим обе части уравнения.При всех значениях х верны неравенства: Следовательно, данное уравнение равносильно системе: Полученная система не имеет решений, так как х = 0 не удовлетворяет второму уравнению. Ответ:. Графическая иллюстрация

Пример 2. Решить уравнение Решение: Решение: Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит, х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0. Графическая иллюстрация

Пример 3. Решить неравенство Пусть тогда неравенство примет вид Поскольку и неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Обратная замена: х + 1 = 0 Ответ: - 1. Решение. Графическая иллюстрация

Пример 4. Решить уравнение Так как то левая часть уравнения Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если одновременно выполнены два условия Решая эту систему, получаем принимает значение от 0,5 до 2. Ответ: Решение. Оценим обе части уравнения. Графическая иллюстрация

Пример 5. Решить уравнение Поскольку - 1 sinx 1 и - 1 sin 9x 1, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда Решением первого уравнения системы являются значения При этих х найдем Следовательно, решение системы. Ответ: Решение. Оценим обе части уравнения.

Пример 6. Решить уравнение Решение. Очевидно, что почленное эти неравенства, получаем: Следовательно, левая часть равна правой, лишь при условии: Значит, данное уравнение равносильно системе уравнений: Решая систему уравнений, получаем:. Заметим, что перемножив

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни: Пример 7. Решите уравнение Решение. Для решения уравнения оценим его части: Равенство возможно только при условии Сначала решим второе уравнение: (верное равенство). Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. При х = -1 имеем: (неверное равенство).

Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. При всех значениях х выражение При всех значения х выражения Поэтому Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему: Ответ: при Решение. Перепишем уравнение в виде