БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра уравнений математической физики Мотевич Антон Викторович ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ Кандидатская диссертация Руководитель: профессор кафедры уравнений математической физики, доктор физ.-мат. наук ЛОМОВЦЕВ Федор Егорович Минск, 2010 Выход

СОДЕРЖАНИЕ АКТУАЛЬНОСТЬ ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Выход

АКТУАЛЬНОСТЬ Математической моделью многих физических процессов являются гиперболические дифференциально-операторные уравнения второго порядка. Вопрос устойчивости этих процессов сводится к исследование о корректной разрешимости соответствующего уравнения при заданных начальных и граничных условиях. Выход

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: Обобщение известного метода сглаживающих операторов для исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения на двумерные гиперболические дифференциально-операторные уравнения Доказательство существования, единственности и устойчивости сильных решений задачи Гурса для дифференциально- операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения операторов Выход

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Двумерные гиперболические дифференциально-операторные уравнения с переменными областями определения Выход

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Корректность задачи Гурса для двумерных гиперболических дифференциально- операторных уравнений с переменными областями определения операторных коэффициентов Выход

Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой. На ограниченном прямоугольнике рассматривается дифференциальное уравнение где и функции переменной t со значениями в Н, и – линейные самосопряженные неограниченные операторы в Н с зависящими от t соответственно областями определения и НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА: Выход

Предполагаем, что операторы удовлетворяют условиям При каждом t для операторов выполняется оценка 2. Обратные операторы операторов сильно непрерывны по t в Н и при всех t имеют в Н сильную частную производную, которая удовлетворяет неравенству 3. При всех операторы подчинены квадратному корню операторов и имеет место оценка Выход

4. При всех t для операторов выполняются неравенства 5. Существует постоянная такая, что 6. При почти всех t существует ограниченная сильная смешанная производная, удовлетворяющая неравенству. Выход

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: Усовершенствованы технические приемы исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения Получены новые и имеющие большое научное значение результаты в теории дифференциально- операторных уравнений Выход

ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО Теорема 1. Если выполняются условия 1 -3 и множество плотно в, то имеет место следующее неравенство Выход ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

ТЕОРЕМА CУЩЕСТВОВАНИЯ Теорема 2. Если выполняются условия предыдущей теоремы и предположения 4 - 6, то для каждого сильное решение поставленной задачи Гурса существует, единственно и Выход

В области переменных x и t рассматривается гиперболическое уравнение в частных производных с переменными по времени граничными условиями и однородными начальными условиями Выход

Здесь коэффициенты уравнения,, и граничных условий Выход

Теорема 3. Если коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют указанным выше требованиям, то для любой функции поставленная начально-краевая задача имеет единственное сильное решение, для которого справедлива оценка Выход

ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ: Доказательство теорем существования, единственности и устойчивости сильных решений задачи Гурса для двумерных дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения операторов Выход

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Выход