Решение задач дробно- линейного программирования графическим методом

Введение Характерная особенность современной математики – быстрое развитие её прикладных значений, обусловленное потребностью решения многих экономических проблем общества. Одним из таких направлений прикладной математики является математическое программирование. Математическое программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений математической функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Если целевая функция выражена дробно- линейной зависимостью, а система ограничений задана линейно, то такое направление математического программирования называется дробно-линейным программированием. Задачи, в которых целевая функция является дробно-линейной, широко применяются в экономике. Цель данной работы – изучить графический метод решения задач дробно-линейного программирования в случае двух переменных.

Общая постановка задачи 1.Цель, поставленную в задаче, выразить в виде зависимости от искомых величин. Полученное выражение называют функцией цели (целевой функцией). 2. Записывают условия, которые накладываются на искомые величины. Чаще всего – это системы уравнений или неравенств. Их называют системой ограничений.

Задана целевая функция: и система ограничений Надо найти неотрицательные х и у, которые удовлетворяли бы системе и придавали бы функции z максимальное (или минимальное) значение.

Геометрическая интерпретация задачи с двумя переменными Функция z однородная, то есть имеет вид: Рисунок 1

Обозначив получим уравнение y = kx.

Рисунок 2

1. Строим многоугольник, который соответствует системе ограничений, и прямую Она не должна пересекать многоугольник, или иначе знаменатель в уравнении целевой функции превратиться в нуль. 2. Проводим произвольную прямую через начало координат и поворотом её около точки О определяем опорные прямые к многоугольнику решения системы ограничений. Вершины, через которые пройдут опорные прямые, будут оптимальными. 3. Вычисляем координаты оптимальных вершин (решив соответственные системы). 4. Вычисляем значение z в обоих точках. 5. Сравниваем значения z и выбираем нужное (в зависимости от условия задачи). Алгоритм решения задачи

Задача 1. Найти минимум и максимум функции при системе ограничений

B D D Рисунок 3

Функция z неоднородная, то есть имеет вид: Осуществив превращения, аналогичные в предыдущем пункте, получим: Введём обозначения имеем уравнение

Если сделать замену то целевая функция будет выглядеть: Если подобрать и так, чтобы выполнялось условие то функция станет однородной и прямые пройдут через точку, которая будет началом новой системы координат.

1. Построить многоугольник, что соответствует системе ограничений, и прямую (которая не должна пересекать данный многоугольник). 2. Решить систему и найти Через точку провести прямые, опорные к многоугольнику решения системы ограничений. 3. Найти оптимальные вершины и координаты этих вершин. 4. Вычислить значение z в полученных вершинах и сравнить их. Алгоритм решения задачи

Задача 2. Найти минимум и максимум функции при системе ограничений

Определяем координаты точки : Рисунок 4

Заключение Цель, поставленная в работе, достигнута. Я исследовал графический метод решения задач дробно-линейного программирования в случае двух переменных, причём, когда функция однородная и когда функция неоднородная. В работе приведена общая постановка задач дробно-линейного программирования. Дана графическая интерпретация дробно-линейной целевой функции.

Спасибо за внимание !!! Ваши вопросы...