Лекция 7 Структурные свойства фазовых траекторий

Матрица устойчивости Классификация неподвижных точек Примеры анализа неподвижных точек осциллятор с затуханием нелинейный маятник класс уравнений Вольтерра другие примеры

Матрица устойчивости Глобальный фазовый портрет отражает не только наглядный образ динамической системы, но также специфику их динамики и возможную реакцию на возмущение. К сожалению, подобный структурный анализ не является простым и доступен лишь при малой размерности фазового пространства. Сравнительно просто глобальный фазовый портрет может быть построен для консервативных одномерных систем. В случае неконсервативных систем дело обстоит сложнее. Однако всегда можно построить приближенный локальный фазовый портрет, определив точки равновесия (неподвижные точки) и нарисовав в их окрестности фазовые траектории. Неподвижные точки можно рассматривать как «организующие» центры динамики системы в фазовом пространстве.

Неподвижные точки =>

Тогда существует линейное преобразование, приводящее уравнение к диагональному виду Корни могут быть либо действительными (одинаковых или разных знаков), либо сопряженные. Предположим дополнительно, что и (отсутствие вырождения и нулевого характеристического корня ).

Корни одного знака, поэтому есть семейство парабол. Особая точка в этом случае является устойчивым либо неустойчивым узлом.

Корни разных знаков. Кривые являются гиперболами. Особая точка называется седлом. Корни комплексные. Тогда. Особая точка называется устойчивым или неустойчивым фокусом. При фокус превращается в центр, или точку эллиптического типа.

Примеры анализа неподвижных точек 1 Осциллятор с затуханием Возможны следующие варианты: а), тогда и точка (0,0) – устойчивый узел; б), и точка (0,0) – устойчивая спираль; в), несобственный устойчивый узел. Маятник нелинейный Неподвижных точек бесконечно много n=0,1,

При эллиптические неподвижные точки; гиперболические неподвижные точки Нелинейный маятник с затуханием:

Класс уравнений Вольтерра (хищник-жертва) Неподвижные точки седловая точка эллиптический центр

Пример:Неподвижные точки гиперболическая точка устойчивый фокус гиперболическая точка

Рассмотрим систему уравнений: неустойчивый фокус это предельный цикл