Применение неравенства Коши Занятие элективного курса «Замечательные неравенства» учитель Короткова Л.Г. МОУ СОШ 7, 10 а класс г. Оренбург

КОШИ Огюстен Луи (Cauchi Augustin Louis ) Огюстен Коши родился 21 августа 1789 г. в Париже. с 1816 г. он профессор Политехнической школы, в гг.- Сорбонны, в гг.- Колледж де Франс. Коши дал определение непрерывности функции, построил строгую теорию сходящихся рядов, ввел определенный интеграл как предел интегральных сумм. Доказал справедливость формулы Ньютона- Лейбница. Доказал неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое для нескольких чисел.

Цель занятия: Рассмотреть основные положения неравенства Коши (связь между средним арифметическим и средним геометрическим двух и трех величин) Следствия из неравенства Коши. Применение неравенств к решению задач при выполнении заданий из ЕГЭ.

Основные положения неравенства Коши

1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел a и b не меньше их среднего геометрического, причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда a=b.

2. Для любого положительного a справедливо неравенство: Причем равенство достигается лишь при а=1.

3. Пусть x1,x2,..xn- неотрицательные вещественные числа. Тогда

Различные варианты записи неравенства Коши

Доказательство неравенства Коши h =

Классификация задач, решаемых с использованием неравенства Коши: Задачи на исследование функций Решение уравнений и неравенств Задачи прикладного характера

1) Найти область значения функции

2) Найти область значения функции

3) Найти область значения функции

4) Решите уравнение

5) Решите неравенство:

6) Решите уравнение

Следствие Если произведение нескольких положительных переменных постоянно, то сумма их имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых

Следствие Если сумма нескольких положительных переменных постоянна, то их произведение имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей

Задача 7. Спортивную площадку прямоугольной формы площадью 1600 кв.м огораживают забором. Каковы должны быть его размеры, чтобы ушло наименьшее количество материала?

Задача 8. Периметр прямоугольника 56 см. Каковы его стороны, если площадь наибольшая?

Задача 9. Требуется изготовить бак с крышкой объемом 0,25 куб.м, имеющий квадратное основание. Сварка швов проводится по всему основанию и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 руб. за 1 м, а стоимость жести 20 руб. за 1 м. Установить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.

Решение задачи 9. Если х - сторона основания бака, а f(х) стоимость бака, то получим:

Геометрическая задача При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30 градусов и периметром 6 см имеет наибольшую площадь?

Задача Площадь наибольшая при

Физическая задача Автомобиль едет из А в В со скоростью 42 км/ч. В пункте В он переходит на равнозамедленное движение с ускорением а и едет до полной остановки. Затем он начинает двигаться равноускоренно в первоначальном направлении. Каково должно быть значение а, чтобы через 3 часа после возобновления движения автомобиль находился ближе всего к пункту В?

Решение Равенство достигается при условии: Откуда следует: