Значение производной. Авторы фильма учащиеся 10 А класса МОУ СОШ 11 п. НОВОТЕРСКИЙ.

Статистика - вещь серьезная. С ней не поспоришь ! Мы решили проанализировать важность изучения производной в рамках школьной программы. И показать это в цифрах ! Часть первая

Математики о производной. Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями. Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет ! Шляпцева Е. Н. учитель математики.

Физики о производной. « С производной в курсе физики мы встречаемся в классах. В теме « Кинематика »: скорость - есть первая производная от перемещения. В теме « Механические и электро - магнитные колебания » применяется производная от функции sinx и cosx. Мой совет : « Лучше изучайте математику, чтобы легче изучать другие науки. Дерзайте !» Чулкова Л. И. учитель физики.

Да, все учителя заодно. Что ж посмотрим цифры, а они беспристрастны !

Задача по биологии : составила Карякина Виктория По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Решение : Понятие на языке биологии. Обозначение.Понятие на языке математики. Численность в момент времени t X = x(t) Функция. Интервал времени. t = t - t Приращение аргумента. Изменение численности популяции. x = x(t) – x(t) Приращение функции. Скорость изменения численности популяции. x/t Отношение приращения функции к приращению аргумента. Относительный прирост в данный момент. lim x/t t 0 P = x(t) Производная.

Задача по химии. Составила Дисокаева Инна Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью : р (t) = t 2 /2 + 3t –3 ( моль ) Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение. Понятия на языке химии Обозначение.Понятие на языке математики. Количество в-ва в момент времени t ̥ P = (t) Функция. Интервал времени. t = t - t Приращение аргумента Изменение количества вещества. p=p(t+t)- p(t) Приращение функции. Средняя скорость химической реакции p/t V(t) = p(t) Отношение приращения функции к приращению аргумента.

Как знаем производную мы - учащиеся ?

Как часто в школьной программе используется производная при решении различных математических задач ? Мы перелистали и перечитали школьные учебники, экзаменационные сборники, тесты ЕГЭ, подборку материалов с вступительными экзаменами в институты за последние несколько лет. И что же получилось ? Нам стало интересно …

Производная используется при решении следующих заданий : Вычислить производную Вычислить производную в заданной точке Все задания на построение касательной к графику функции Нахождение промежутков возрастания и убывания функции Нахождение точек экстремума Нахождение скорости тела в момент времени Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции Построение графиков с помощью производной Исследование функции Решение задач методом математического моделирования

И снова цифры !

Впереди ЕГЭ

Поступление в ВУЗы Изучив материалы вступительных экзаменов в ВУЗы за многие прошедшие годы мы заметили, что в них встречаются только задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величины. Эти задачи отличаются повышенной сложностью, чтобы их решить нужно знать многие вопросы изучения производной в школе.

Вывод. В школьной программе тема « Производная и её применение » является одной из важных, так как позволяет решать многие математические задачи более рациональным способом ( например : исследование функции, нахождение точек максимума и минимума, решение задач на нахождение наибольшего или наименьшего значение величины ).

История великих открытий. Часть вторая.

Их, великих, загадочность окружающего мира притягивала, а исследование увлекало. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.

О великом Ньютоне ! Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет ! И вот явился Ньютон. А. Поуг. Исаак Ньютон ( ) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд - « Математические начала натуральной философии ».- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

О Лейбнице. « Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд ». Г. В. Лейбниц. ( ) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Но это не говорит о том, … … что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И. Тартальи. В 17 в. на основе учения Г. Галилея активно развилась кинематическая концепция производной. Понятие производной встречается уже у Р. Декарта, французского математика Роберваля, английского учёного Д. Грегори, в работах И. Барроу. Но систематическое учение с выдвижением двух основных проблем математического анализа развито Ньютоном и Лейбницем.

Последователи учений Ньютона и Лейбница. В последующем развитии идеи анализа ( а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей ), следует в первую очередь назвать имена учеников Лейбница - братьев Бернулли. А. Лопиталь ( ) который учился у Бернулли, уже в 1696 году издал первый печатный курс дифференциального исчисления. Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа.

Вывод : Ньютон и Лейбниц, решая практические задачи в механике и геометрии, пришли к одному понятию - производная, показав тем самым, что дифференциальное исчисление - это есть окружающая действительность, переложенная на математический язык.

Интриги в стране математического анализа Часть третья.

Исследуя функции, мы встретились со случаями, когда функция определена, но не дифференцируема. Мы задумались. Что это ? Почему так происходит ? Можно ли этому найти объяснения ? Вопросов было много и хотелось на них найти ответы.

Взгляд из детства. Всем с детства известно такое явление, как движение мяча, падающего на пол и упруго отскакивающего от него. Это явление можно объяснить с помощью законов физики. Мы же попробовали переложить все это на математический язык.

При отскоке от пола ( при h=0) направление движения мяча меняется ( и функция достигает минимума ), однако в эти моменты скорость мяча не равна нулю, касательную к графику h провести нельзя. На графике скорости мяча мы видим : в момент отскока скорость мяча однозначно найти нельзя - график скорости в эти моменты имеет разрывы. ( производная в этих точках не существует ).

Точки, в которых производная не существует, являются особыми точками.

Примеры функций, имеющих особые точки. Все функции вида у =\f(x)\, при f(x)=0 имеют особые точки - точки излома. Частный случай : у =\ х \ х =0- особая точка.

К числу особых точек относятся точки разрыва самой функции.

Наличие особых точек затрудняет исследования функции. Например : производная функции у =\ х \ там, где она определена, нигде не обращается в нуль, однако к функции нельзя применить необходимое условие экстремума и сказать, что она не имеет экстремумов. Х =0 является точкой минимума этой функции.

Вывод. Окружающий мир очень сложен. И какие бы процессы мы не « заключали » в рамки математических и физических законов, всегда найдутся исключения. К ним нужно относиться очень внимательно и, главное, эти исключения из правил надо знать.

Работу выполнили : Дисакаева Инна, Карякина Виктория. Компьютерную версию подготовил : Раздоров Андрей.