Вычисление площади с помощью интеграла

Архимед Архимед ( ок до н.э.) Архимед «Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания».

Греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда – один из фундаментальных законов физики. «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии»,- сказал о нем Лейбниц.

КОРОТКО ОБ ИНТЕГРАЛЕ МОЖНО СКАЗАТЬ ТАК: ИНТЕГРАЛИНТЕГРАЛ – ПЛОЩАДЬ. ИНТЕГРАЛ Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;b]. Тогда площадь соответствующей КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ находится по формуле Ньютона- Лейбница КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

Интегралом от функции ƒ на отрезке [а;b] называется площадь ее подграфика на этом отрезке. Если при этом график функции пересекает ось x, то части подграфика, расположенные ниже оси х, берутся со знаком минус. Обозначение интеграла:

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная прямыми y=0; x=а; x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [а;b] функции ƒ(x). Примеры :

Площадь криволинейной трапеции Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Решение:

Если требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной несколькими линиями, то находят криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура, вычисляют площадь каждой из них и находят разность или сумму площадей этих криволинейных трапеций.

Формулы вычисления площади с помощью интеграла Рис.1

Пример 2. Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение: Искомая площадь: