Метод Зейделя Выполнили : Студенты ОКЭИ Группы 3 пк 2 Мокин И., Скляр А. г. Оренбург 2014 г.

Содержание : 1. Биография Биография 2. Общий алгоритм Общий алгоритм 3. Пример решения Пример решения 4. Блок - схема Блок - схема

ФИЛИПП ЛЮДВИГ ФОН ЗЕЙДЕЛЬ ( нем. Philipp Ludwig von Seidel; 24 октября августа 1896, Мюнхен ) немецкий математик и астроном. Биография Родился в 1821 году в семье работника почтового ведомства, в связи с чем семья часто переезжала с место на место. Учился в Берлинском университете ( ), Кёнигсбергском университете ( ) и Мюнхенском университете, где в 1846 году получил докторскую степень ( в современной России соответствует степени кандидата ), защитив диссертацию « О лучшей форме зеркал в телескопах », а уже через шесть месяцев стал привет - доцентом университета. В 1851 году назначен экстраординарным профессором, а в 1855 году - профессором Мюнхенского университета. С 1879 по 1882 год был директором обсерватории Богенхаузен.. Рано вышел в отставку из - за проблем со зрением. Научная деятельность Работал в области математики и астрономии. В 1856 году создал теорию аберраций оптических систем третьего порядка. Используя фотометр К. Штейнгейля, проводил астрономические наблюдения с целью определения яркости звёзд и в 1863 году выпустил труд « Результаты фотометрических измерений 208 главных неподвижных звезд », представлявший собой первый фотометрический звездный каталог, имеющий научное значение. Помимо этого определял яркость больших планет, а также изучал поглощение света земной атмосферой. В области чистой математики труды Зейделя касаются, главным образом, теории рядов и других объектов математического анализа. В опубликованной в 1874 году работе предложил итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений, ныне известный как метод Зейделя.

Метод Зейделя Метод Зейделя - модификация метода Якоби. Изменением является то, что при вычислении (k+1) приближения неизвестной x i используются уже вычисленные ранее приближения x 1,x 2,...,x i-1, благодаря чему метод Зейделя сходится быстрее метода Якоби. Общий алгоритм по методу Зейделя : 1. Возьмем систему линейных алгебраических уравнений вида : 2. Выразим переменные x 1..x n находящиеся при наибольших коэффициентах a из строк СЛАУ. 3. Проверить сходимость по одному из условий : 4. Если условие выполняется определим нулевые приближения переменных x 1..x n путем подстановки значений ( если переменная не известна – подставляем 0). 5. Подставим нулевые приближения в уравнение х 1 =… полученные на шаге 2, тем самым получив новое нулевое приближение для х Подставим новое нулевое приближение полученное на шаге 5 в уравнение х 2 =… ( недостающие приближения берем из предыдущей итерации ), получив тем самым новое приближение х Аналогичным образом найдем новые приближения для х 3 … х n закончив итерацию при условии 8. Используя новые данные повторим шаги 5-8 до достижения необходимого количества итераций или необходимой точности. 9. Оценка точности к - ого приближения, находим по формуле : 10. Выполним проверку путем подстановки найденных х на шаге 9 в исходную систему.

Пример решения 1. Возьмем систему : 2. Выразим переменные х 1, х 2, х 3, х 4: x 1 = x x x 4 x 2 = x x x 4 x 3 = x x 4 x 4 = x x x 3 3. Проверим выполняется ли условие ( сумма коэффициентов a каждой строки по модулю менее единицы ): < < < <1 Условие выполняется, значит процесс сходится. 4. Определим начальные нулевые приближения : x 1 = (-0.167) = x 2 = (-4.667) (-0.467) - 0 (-0.333) - 0 (-0.133)= x 3 = (-4.667) (-0.308) - (-2.511) = x 4 = (-4.667) (-0.258) - (-2.511) (-0.258) - (-4.359) (-0.194)= На основании полученных данных выполним первую итерацию : x 1 = (-2.511) (-4.359) (-0.167) = x 2 = (-5.563) (-0.467) - (-4.359) (-0.333) (-0.133)= x 3 = (-5.563) (-0.308) - (-3.611) = x 4 = (-5.563) (-0.258) - (-3.611) (-0.258) - (-6.416) (-0.194)=4.875

6. Используя новые нулевые приближения выполним вторую итерацию : x 1 = (-3.611) (-6.416) (-0.167) = x 2 = (-5.214) (-0.467) - (-6.416) (-0.333) (-0.133)= x 3 = (-5.214) (-0.308) - (-4.255) = x 4 = (-5.214) (-0.258) - (-4.255) (-0.258) - (-6.027) (-0.194)= Остальные расчеты сведем в таблицу : Nx1x1 x2x2 x3x3 x4x Данный метод подразумевает большое количество итераций, поэтому предлагаем рассмотреть решение систем с помощью программы. Рассмотрим алгоритм.

БЛОК - СХЕМА МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ Начало

Вывод : Условие сходимости по евклидовой метрике не выполняется

Конец Код программы на языке Pascal приложен отдельным файлом

В результате работы программы получили : Количество итераций = 10 x 1 =-5 x 2 =-4 x 3 =-6 x 4 =5

Конец