Исследовательская работа Выполнила: Степанова Алина Валерьевна, учащаяся 8 класса МОУ Малоибряйкинская ООШ Похвистневского района Руководитель: Бурякова Вера Николаевна

Цель: получить более широкие знания о модуле числа

Задачи: 1. Познакомиться с различными способами решения уравнений содержащих модуль 2. Познакомиться с графиками функций, содержащих знак абсолютной величины.

Определение Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: a = - a; модулем отрицательного действительного числа a называют противоположное число: a = -a.

Свойства модуля: 1) Число неотрицательно, тогда и только тогда, когда оно равно своему модулю. 2) Число равно нулю тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю. 3) Число не положительно тогда и только тогда, когда его модуль равен противоположному числу. 4) Модуль числа есть число неотрицательное. 5) Модуль числа не меньше как самого числа, так и ему противоположного. 6) Модули противоположных чисел равны. 7) Квадрат модуля равен квадрату под модульного выражения

Геометрическая интерпретация Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Решение уравнений, содержащих модуль, используя определение Решить уравнение |x - 2| = 3. Решение: 1) если x - 2 0,то |x - 2|= х- 2, получим уравнение x - 2 = 3, х=5. 2) если х<0, то |x - 2|= - (х - 2), уравнение примет вид x - 2=-3, х=-1 Ответ: х 1 = 5, х 2 =-1.

Решить уравнение (2x + 3) 2 =(x-1) 2. Используя соотношение a 2 =b 2|a|=|b| получим, |2x + 3|=|x – 1|, отсюда 2 х + 3=х – 1 или 2 х + 3=-х х – х=-1 – 3 2 х+ х=1 – 3 х=-4 х=-2/3 Таким образом, корнями уравнения являются х 1 =-4, и х 2 =-2/3. Ответ: х 1 =-4, х 2 =2/3 Решение уравнений при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел.

Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений. Геометрический смысл модуля разности величин - это расстояние между ними. Решить уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 Решение: левая часть уравнения - сумма расстояний от некоторой точки абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Ответ: х [1; 2]

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Пример 1. f(x) = |x - 1|. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Пример 2. f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Пример 3 f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3|. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4.

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Пример 4 f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3.

Заключение При выполнении исследовательской работы мне представилась возможность больше поработать с интересной для меня темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 8-го класса. При выполнение исследовательской работы наибольший интерес вызвала тема: «Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля». Изучая дополнительную литературу, меня заинтересовали графики которые получаются в результате преобразований графика квадратичной функции y= ax 2 + bx+ c, содержащих переменную под знаком абсолютной величины. На следующий год я предполагаю продолжить работать по этой теме.