Выполнили: Исаева Диана, Авласенко Надежда, ученицы 8 класса Руководитель: Козак Т.И., учитель математики пгт.Прогресс 2014

Проблема: выделение видов квадратных уравнений и выбор способов их решения. Время работы над исследованием: декабрь 2013 года – февраль 2014 года Объект исследования: квадратные уравнения Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения Гипотеза: Формула корней квадратного уравнения – это «подарок судьбы»? Можно ли решить квадратное уравнение, не зная формулы корней? 197 х 2 – 1997 х = х х = 0

Цель работы: изучение теоретических основ различных способов решения квадратных уравнений и их практическое применение. Задачи: ознакомиться с историей возникновения и развития квадратных уравнений и способами их решения; выяснить, важно ли умение решать квадратные уравнения и действительно ли это фундамент алгебры; подготовить дидактический материал.

Методы: Работа с учебной и научно-популярной литературой Наблюдение, сравнение, анализ Решение задач Этапы работы:

ах 2 + вх + с = 0, а 0 приведённые х 2 + рх + q = 0 ах 2 + с = 0 ах 2 + вх = 0 ах 2 = 0 неполные

История развития квадратных уравнений 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. 2. Квадратные уравнения в Индии. 3. Квадратные уравнения у ал- Хорезми. 4. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. 5. Диофантовы квадратные уравнения.

1. Разложение левой части уравнения на множители. х х – 24 = х х – 2 х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2) 2. Метод выделения полного квадрата. х х – 24 = х · х · – 52 – 24 = = (х + 5) 2 – 25 – 24 = (х +5) 2 – Решение квадратных уравнений по формуле. D = в 2 – 4 ас Способы решения квадратных уравнений

ах 2 + вх + с = 0 х 1 х 2 = с/а х 1 + х 2 = - в/а, где х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения 4. Теорема Виета х 2 + рх + q = 0 – приведённое квадратное уравнение х 1 х 2 = q х 1 + х 2 = р 5. Учёт свойства коэффициентов квадратного уравнения: если а + в + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а если а + с = в, то х 1 = -1, х 2 = -с/а

6. Способ «переброски» 2 х 2 – 11 х + 15 = 0; у 2 – 11 у + 30 = 0 7. Графический способ х 2 – 3 х – 4 = 0 у = х 2 у = 3 х + 4 Способы решения квадратных уравнений

8. С помощью циркуля и линейки AS > SВ, R > (а + с) : 2 а Два решения х 1 и х 2 AS = SВ, R = (а + с) : 2 а Одно решение х 1 AS < SВ, R < (а + с) : 2 а Решений нет Способы решения квадратных уравнений

9. С помощью номограммы z 2 + pz + q = Геометрический способ у у – 16 = 0 у 2 у 2 3 у у у Способы решения квадратных уравнений

1. Знаете ли вы, как решаются квадратные уравнения? 2. Встречаются ли в КИМах квадратные уравнения? 3. Это уравнения приводимые к ним?

47 человек: 8 класс – 21 чел., 9 класс – 8 чел., 10 класс – 11 чел., 11 класс – 7 чел. х 2 – 4 х + 4 = 0; х 2 – 81 = 0; 3 х 2 – 7 х – 1 = 0; 2 х 2 + х – 10 = 0; 939 х х +39 = 0; 2013 х 2 – 2014 х + 1 = 0; х 2 – 8 х – 9 = 0; х 2 – х – 6 = 0; z 2 – 11z + 18 = 0; х х + 3 = 0.

39 человек Вопрос Результат опроса 1. Рациональный способ? По формуле Теорема Виета Свойства коэффициентов 100% 31% 69% 2. Самый сложный способ? На множители Полный квадрат 72% 100% 3. Применяете редко Графический 87% 4. Не имеет практического значения Геометрический 100% 5. Не слышали ранее Циркулем и линейкой Номограмма «Переброска» 100%

Выводы Научились: Классифицировать квадратные уравнения. Искать различные методы их решения. Увидели: Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и уравнений и неравенств. Формула корней квадратного уравнения – это «подарок судьбы». Но существуют и другие, более рациональные способы решения квадратных уравнений. Гипотеза подтвердилась.