Подготовка к ГИА «РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ» Учитель математики Гусева Светлана Геннадьевна МБОУ СОШ 18 имени В.Я.Алексеева

Задачи на проценты Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами: -нахождение процентов от числа; -нахождение числа по его процентам; -нахождение процентного отношения чисел.

1) Покрасив 2 метра забора, Том Сойер «уступил» это занятие другому мальчику, который покрасил 30% неокрашенной части забора. После этого Том трижды «уступал»свое право красить забор другим мальчикам. Первый и второй из них покрасили соответственно 1/5 и 1/6 всего забора, а третий - 85% оставшейся неокрашенной части забора. Какова длина забора, если последний оставшийся метр Том красил сам? РЕШЕНИЕ: Пусть х-длина всего забора, тогда 0,3(х-2) – длина части забора, которую покрасил мальчик, красивший сразу за Томом, а из следующих трех мальчиков первый и второй покрасили х и х метров. Пусть у – длина части забора, оставшейся неокрашенной после этого. Из условия следует, что 1 метр (который в конце красил Том) составляет 100% - 85% = 15% от у. То есть 0,15 у=1, у=100/15=20/3. Так как сумма всех покрашенных частей равна длине всего забора, получаем уравнение: 2+ 0,3(х-2) + х + х +у=х 2+0,3 х-0,6+11/30 х+20/3=х 20/30 х+1,4+20/3=х х=24,2(м) Ответ: длина забора 24,2 метра

2) Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первые три часа съел 40% всего запаса меда Кролика. Пятачок и Кролик вместе за это же время съели 300 граммов меда. За следующие три часа Винни-Пух съел 2/3 оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 граммов меда на двоих, после чего у Кролика осталось 1,6 кг меда. Сколько меда было у Кролика до визита Винни-Пуха? РЕШЕНИЕ: Пусть первоначально у кролика было х кг меда. Винни-Пух за первые 3 часа съел 0,4 х кг, а Пятачок и кролик съели 300 г меда. У кролика осталось х-0,4 х-0,3=0,6 х-0,3(кг). За следующие 3 часа Винни-Пух съел 2/3(0,6 х-0,3)=0,4 х-0,2(кг), а Пятачок и кролик – 100 г. У кролика осталось 0,6 х-0,3-0,4 х+0,2-0,1=0,2 х-0,2(кг) Зная, что осталось 1,6 кг, составим уравнение: 0,2 х-0,2=1,6 х=9(кг) Ответ: первоначально у кролика было 9 кг меда.

Задачи на «движение» Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь, скорость и время. Известно соотношение между ними: Путь = скорость время

3) Две черепахи выползают навстречу друг другу из своих нор. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то они бы встретились на полпути, если бы вторая ползла на 50 м/ч быстрее, она бы проползла в два раза большее расстояние до встречи, чем первая. Найдите скорости черепах. РЕШЕНИЕ: Пусть скорость движения первой черепахи х м/ч, а второй – у м/ч. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то через t часов они бы встретились на полпути. Получаем: (х+40)t=уt или х+40=у Если бы вторая ползла на 50 м/ч быстрее, то она проползла бы до встречи за t часов в два раза большее расстояние, чем первая. Получаем 2 xt=(у+50)t или 2 х=у+50 х+40=у, х=90, 2 х=у+50; у=130. Ответ: скорость первой черепахи – 90 м/ч, а скорость второй – 130 м/ч

4) Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 минут по той же дороге из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю? РЕШЕНИЕ: Пусть t часов – время, которое будет находиться в пути Петя до того момента, когда его догонит Вася. Тогда Вася до того как догонит Петю,будет находиться в пути (t-1/3) часа. (20 мин=1/3 ч). Всего Петя пройдет 4,5t км, а Вася пройдет 12(t-1/3)км. Составим и решим уравнение: 4,5t=12(t-1/3) t=8/15. Следовательно, Вася догонит Петю на расстоянии 4,58/15=0,38=2,4 км от школы. Ответ: Вася догонит Петю на расстоянии 2,4 км от школы.

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы» В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение: -Концентрация (доля чистого вещества в смеси); -Количество чистого вещества в смеси (или сплаве); -Масса смеси (сплава). Соотношение между этими величинами следующее: Масса смеси концентрация = количество чистого вещества

5) Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какой могла быть первоначальная масса сплава? РЕШЕНИЕ: Пусть х кг – масса меди в сплаве, тогда (х+5)кг – первоначальная масса сплава; (х/(х+5))100% - процентное содержание меди в первоначальном сплаве; (х+5+15)кг – масса нового сплава; ( х/(х+5+15))100% - процентное содержание меди в новом сплаве. По условию содержание меди понизилось на 30%. Составим и решим уравнение: (х/(х+5))100-( х/(х+5+15)) 100=30, х > 0 10 х²+200 х-10 х²-50 х=3(х+5)(х+20) 150 х=3(х+5)(х+20) 50 х=(х+5)(х+20) х²+25 х-50 х+100=0 х²-25 х+100=0 х=5, х=20. Оба числа удовлетворяют условию х > 0. Ответ: первоначальная масса сплава могла быть либо 10 кг, либо 25 кг.

6) Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы азотной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30%-го раствора к массе 50%- го раствора. РЕШЕНИЕ: Пусть х г – масса первого раствора, у г – масса второго раствора, тогда 0,3 х г – масса кислоты в первом растворе, 0,5 у г – масса кислоты во втором растворе, (0,3 х+0,5 у) г – масса кислоты в смеси, что по условию задачи составляет 45% массы раствора. Составим уравнение: 0,3 х+0,5 у=0,45(х+у) 0,5 у-0,45 у=0,45 х-0,3 х 0,05 у=0,15 х у=3 х х:у=1:3 Ответ: отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора как 1:3

7) В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава. РЕШЕНИЕ: Пусть х г меди и у г цинка находятся в первоначальном куске сплава, тогда (х+у) г – масса сплава. После увеличения количества меди на 40% масса меди в новом сплаве составила 1,4 х г, а после уменьшения количества цинка в новом сплаве масса цинка составила 0,6 у г; (1,4 х+0,6 у) г – масса нового сплава. По условию масса куска сплава увеличилась на 20%, значит, составила 1,2(х+у) г. Получаем уравнение: 1,2(х+у)= 1,4 х+0,6 у 0,6 у=0,2 х; 3 у=х Отсюда следует, что х:у=3:1 Ответ: в первоначальном куске сплава было 75% меди и 25% цинка.

Задачи «на работу» Работу характеризуют три компонента действия: -Время работы, -Объем работы, -Производительность (количество произведенной работы в единицу времени). Существует следующее соотношение между этими компонентами: Объем работы = время работы производительность.

8) Две машинистки вместе могут перепечатать рукопись за 6 часов. После 5 часов совместной работы вторая машинистка продолжила работу самостоятельно и завершила ее за 3 часа. За какое время каждая машинистка смогла бы перепечатать рукопись? РЕШЕНИЕ: Примем объем работы за 1. Пусть первая машинистка сможет перепечатать рукопись за х часов (х>0), вторая машинистка – за у часов (у>0), 1/х – производительность первой машинистки, а 1/у – производительность второй. По условию задачи, работая вместе, они могут перепечатать рукопись за 6 часов; 6(1/х+ 1/у)=1. Если машинистки будут работать вместе 5 часов, то они напечатают 5(1/х+ 1/у) часть работы, а если вторая машинистка будет работать 3 часа, она напечатает 3/у часть работы. По условию задачи работа при этом будет завершена 5(1/х+ 1/у)+3/у=1. Учитывая, что х>0, у>0, составим и решим систему уравнений: 6(1/х+ 1/у)=1, х=9, 5(1/х+ 1/у)+3/у=1; у=18. Ответ: первая машинистка может перепечатать рукопись за 9 часов, а вторая – за 18 часов.

9) Двое рабочих, работая вместе, могут оклеить комнату обоями за 6 часов. За сколько часов может оклеить комнату каждый из них в отдельности, если первый это сделает на 5 часов быстрее второго? РЕШЕНИЕ: Пусть первый рабочий может наклеить обои в комнате за х часов (х>0), тогда второй рабочий наклеит обои за (х+5)часов. Всю работу примем за 1, тогда 1/х – производительность первого рабочего, 1/(х+5) – производительность второго. Так как, работая вместе, они наклеят обои за 6 ч, то их совместная производительность равна 1/6. Таким образом, имеем 1/х + 1/(х+5) = 1/6 х²-7 х-30=0 х=10, х=-3 не удовлетворяет условию х>0, т.е. х=10. Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч. Ответ: первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч.

Спасибо за внимание!