Лекция 5 Динамика дифференциальных уравнений. Уравнение линейного гармонического осциллятора Интегрирование в квадратурах Период движения линейной системы.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лекция 6 Свойства нелинейного маятника. Уравнение движения и интегрирование в квадратурах Общее решение Введение важного параметра к! Период финитного.
Advertisements

Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4.
Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4.
Дифференциальные уравнения (продолжение) План лекции I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры) II. Линейные однородные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения.
ДИНАМИКА ТОЧКИ ЛЕКЦИЯ 2: ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5.
Лекция 7 Структурные свойства фазовых траекторий.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка F(x, y, y)=0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка y=f (x, y) – уравнение, разрешенное относительно производной.
Выполнила : студ. Гр. 2 У 00 Крутова Н. П. Проверила : Тарбокова Татьяна Васильевна.
Математические модели Динамические системы. Модели Математическое моделирование процессов отбора2.
Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка.
{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан.
{ определения - примеры решения дифференциальных уравнений - математические модели в виде дифференциальных уравнений - циклоидальные часы - осцилляторы.
Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Багирова Севиндж Музаффар кызы Открытый урок на тему : Обыкновенные дифференциальные уравнения. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 9. Тема: Типы дифференциальных уравнений. Цель: Ознакомиться.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к.
Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Дифференциальные уравнения: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Транксрипт:

Лекция 5 Динамика дифференциальных уравнений

Уравнение линейного гармонического осциллятора Интегрирование в квадратурах Период движения линейной системы Нелинейный осциллятор Осциллятор с затуханием Интегрирование нелинейных уравнений 2-го порядка Понятие фазовой плоскости. Динамика Фазовая траектория затухающего гармонического осциллятора Неавтономные системы

Уравнение линейного гармонического осциллятора постоянные интегрирования можно найти из начальных условий:

Интегрирование в квадратурах

Решение было получено в 4 этапа: идентификация интеграла движения; использование интеграла движения для понижения порядка дифференциального уравнения; интегрирование в явном виде, то есть в квадратурах; обращение, приводящее к однозначному решению.

Период движения линейной системы период не зависит от энергии (то есть от начальных условий) – результат для линейных систем!

Нелинейный осциллятор (нелинейная возвращающая сила)

Осциллятор с затуханием Можно ли систему уравнений представить в полностью интегрированном виде?

Интегрирование нелинейных уравнений 2-го порядка Если нелинейность не превышает, то задача может быть решена в «явном виде» в терминах эллиптических функций

Рассмотрим уравнение: Правая часть может быть факторизована: Канонический вид Лежандра:

Эллиптические интегралы 1-го рода В пределе k=0 После преобразования

Понятие фазовой плоскости. Динамика Переменные x,y (где y=dx/dt) – две независимые переменные определяют пространство, в котором «движется» решение. Так как фазовое пространство в данном случае двухмерное, то используют термин фазовая плоскость. Каждую из переменных можно рассматривать как независимою переменную, соответствующую n-мерному фазовому пространству. Любому решению уравнения движения отвечает гладкая кривая в фазовом пространстве. Так как фундаментальным свойством решения дифференциальных уравнения является их однозначность, то различные фазовые траектории не пересекаются

Рис. Фазовые траектории обыкновенного гармонического осциллятора

Пример: Осциллятор с затуханием

Фазовая траектория затухающего гармонического осциллятора

Неавтономные системы В пределе система становится автономной. Если, то двухмерное фазовое пространство (при ) становится трехмерным за счет дополнительной размерности – времени t