Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

Векторы Операции над векторами

Содержание Определение вектора Модуль вектора Коллинеарные вектора Линейные операции над векторами Координаты вектора. Скалярное произведение векторов Свойства скалярного произведения векторов Определение вектора Модуль вектора Коллинеарные вектора Линейные операции над векторами Координаты вектора. Скалярное произведение векторов Свойства скалярного произведения векторов

Скалярные величины Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объём, температура, работа, масса.

Векторные величины Величины, определяющиеся не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными. Это величины, например: сила, скорость, ускорение. Векторная величина геометрическая изображается с помощью вектора.

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается символом или =

Противоположный вектор Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору. Вектор, противоположный вектору обозначается.

Модуль вектора Модуль вектора Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается

Нулевой вектор Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается. Нулевой вектор направления не имеет.

Единичный вектор Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через.

Орт вектора Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора, называется ортом вектора и обозначается.

Коллинеарные вектора Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные вектора Коллинеарные вектора Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Равные вектора Два вектора и называются равными ( = ), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины

Компланарные вектора Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами понимают операции: 1. сложения векторов; 2. вычитания векторов 3. умножения вектора на число.

Сумма векторов Пусть и - два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор.

Сумма векторов Вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис.1)

Сложение векторов

Правило треугольника

Правило параллелограмма Правило параллелограмма Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис.2).

На рисунке 3 показано сложение трёх векторов

Разность векторов Под разностью векторов и понимается вектор такой, что :

Разность векторов

Правило параллелограмма Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью

Разность векторов

Правило вычитания векторов Можно вычитать векторы по правилу: т.е. вычитание заменить сложением вектора с вектором,противоположным вектору

Произведение вектора на скаляр Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор (или ), который имеет длину коллинеарен вектору, имеет направление вектора, если и противоположное направление, если

Свойства произведения вектора на скаляр Из определения вектора на число следуют свойства этого произведения: 1)если, то || верно и обратное утверждение; 2)Всегда т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Координаты вектора. Модуль вектора Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат. Выделим на координатных осях и единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно

Система координат Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат.

Тогда мы можем представить вектор следующим образом: Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа называются координатами вектора. Векторное равенство (1) часто записывают в символическом виде:

Литература