Построение графиков функций, содержащих модуль ЛОБАНОВА О.Г. учитель математики, зам.директора по УВР ШОСТАК Е.В. зам. директора по ИКТ МБОУ "Гимназия 3" 2014

Элективный курс «Модули» для обучающихся 8,9 классов в рамках предпрофильной подготовки(12 часов) Темы Часы 1Определение модуля, его геометрический смысл 1 2Основные свойства модуля 1 3Решение уравнений с модулем 3 4Решение неравенств с модулем 3 5Построение графиков функций, содержащих модуль 3 6Практическая работа 1

Для построения всех типов графиков функций, содержащих модуль, учащимся достаточно владеть приемами построения графиков элементарных функций, твердо знать и понимать определение модуля числа: |a| = а, при а 0; -а, при а<0.

Построение графиков функций целесообразно изучать в следующем порядке y=|f(x)|; y=|f 1 (x)|+ |f 2 (x)|+…+|f n (x)| у =f(|x|); y= |f(|x|)|; Построение можно осуществлять двумя способами: 1)на основании определения модуля; 2)на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.

Построение графика с помощью определения модуля 1)Приравниваем каждое под модульное выражение к нулю и находим точки, в которых под модульные выражения меняют знак. 2) Наносим точки на ось ОХ и выделяем промежутки, в которых под модульные выражения сохраняют знак. 3) На каждом промежутке раскрываем модуль и получаем соответствующие уравнения функции. 4) Строим графики функций на каждом промежутке.

Пример 1. Построить график функции y=|x| Строим график: 1)нуль модуля х= 0; 2) у=х, если х 0 у= - х, если х < 0

y=|x|

Пример 2. Построить график функции y=|1-2x|-|x-2| 1) Найдем нули модулей: а) 1-2 х=0 б) х-2=0 х=0.5 х=2 2)Определим знаки выражений на промежутках: 1-2 х х-1 - 0, ) Раскрываем модуль на каждом промежутке: 2) Если x<0.5, то y=1-2x-(2-x)=-1-x 3) Если 0.5 х 2, то y=-1+2x-(2-x)=3x-3 4) Если x>2, то y=2x-1-(x-2)=x+1 4)Строим графики полученных функций: -1-x, если x<0.5 y= 3 х-3, если 0.5 х 2 х+1, если x>2

y=|1-2x|-|x-2|

2 способ Этот способ применяется, если после раскрытия модулей, на каждом промежутке получаем линейные функции: 1)находим координаты точек, абсциссами которых являются нули модулей;(границы областей знакопостоянства) 2)Строим эти точки на координатной плоскости и соединяем их, проводим пунктирной линией границы знакопостоянства 3)находим координаты дополнительных точек из левой и правой областей 4)строим графики в левой и правой областях

Пример 2. Построить график функции y=|1-2x|-|x-2| 1) Найдем нули модулей: а) 1-2 х=0, х=0.5 ; х- 2=0, х=2 Если х=0,5, то у=0-(0,5-2)=-1,5 А(0,5; -1,5) Если х = 2, то у = 3-0=3 В(2;3) б)найдем дополнительные точки: Если х=5, то у=9-3=6 С (5;9) Если х = -3, то у =7 -5=2 К (-3;2)

Задание 3А3А2В ОГЭ Постройте график функции y=x 2 -6|x|+2x и определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно три общие точки Решение: I. Найдем нули модуля: х=0; Если х<0, то функция примет вид y=x 2 +8x – квадратичная, графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх II.1) O(m;n) m=-b/2a; m=-8/2=-4; n=-16 O(-4;-16) – вершина параболы 2)Х = - 4 ось симметрии 3 ) x 2 +8x=0 x(x+8)=0 x=0 или x=-8 (0;0) и (-8;0)

4)Дополнительная точка III) Если x0, то функция примет вид y=x 2 -6x+2x=x 2 -4x 1)O(2;-4) – вершина параболы 2) х= 2 - ось симметрии 3) x 2 -4x=0, х= 0 или х = 4 (0;0)и (4;0) 4)Дополнительная точка х 012 у x -20 y

y=x 2 -6|x|+2x IV ) Прямая у = с параллельна оси ОХ и имеет с графиком три общие точки( т.е. пересекает график функции в трех точках), если проходит через вершину параболы у =x 2 -4x (2;-4), значит, у= - 4,с= -4 или проходит через точку (0;0), значит, у= 0, с= 0. Ответ: с=о;с= -4.

ЗаданиеС2А8С5 (ОГЭ) Постройте график функции y=x 2 -6|x|+8 и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? Решение: 1)Если х 0, то y=x 2 -6 х+8 – квадратичная, графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх а=1, 1>0; а)О(3;-1)-вершина параболы, х= 3 - ось симметрии, б) x 2 -6 х+8=0, х = 2 и х=4 – нули функции, (2;0)и (4;0)- точки пересечения с осью ОХ в)Если х=0, то у=8 (0;8) – граничная точка промежутков знакопостоянства модуля 2)Строим график функции y=x 2 -6 х+8 при х 0 3) при х < 0, построенная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

Построение графика y=|f(x)| -f(x), если f(х)<0 y=|f(x)|= f(x), если f(х)0 1)Строим график y=f(x) 2)Часть графика, лежащая выше оси ОХ, сохраняется, часть графика, лежащая ниже оси ОХ, отображается относительно оси Ох в верхнюю полуплоскость Задание E7EF61 (ОГЭ)

Построение графика функции у=f(|x|) f(x), при x О у=f(|x|) = f(-x), при x < О, График функции у=f(|x|)получается из графика функции у =f(x): 1)при х 0, график у =f(x) сохраняется, 2)при х < 0, построенная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

Задание 3СА855 (ОГЭ) Постройте график функции y=x 2 -5|x|-x и определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно три общие точки I. Найдем нули модуля: |x|=0, если х=0. II. Если х<0, то функция примет вид: y=x 2 +4x 1) O(m;n); m=-2, n=-4; O(-2;-4) 2) x 2 +4x=0; x(x+4)=0; x=0 или x=-4 (0;0) и (4;0) точки пересечения с осью ОХ х-3 у-3

y=x 2 -5|x|-x x21 y-6-5 III. Если x0, то функция примет вид y=x 2 -6x 1) O(m;n) m=6/2=3; n=- 9; O(3;-9) 2) x 2 -6x=0; x(x-6)=0; x=0 или x=6 (0;0) и (6;0) точки пересечения с осью О Х;

y=x 2 -5|x|-x IV. Прямая у=с имеет с графиком ровно 3 (три) общие точки, если с=-4 и с=0 Ответ:с=-4, с=0.

Задание 50241C Задание В70ВFF Задание CA6508

Построение графика функции у = |f(|x|)| Чтобы построить график функции у = |f(|x|)|: 1) Построить график функции у = f(x) при x 0. 2) При х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ. 3) На интервалах, где f(|х|) < 0, построить изображение, симметричное графику f(|х|) относительно оси ОХ. Задание 4. Построить график функции у = |2-|2-|2- x |||.

y=|2-|2-|2-x||| 1) y=2-x 2) y=|2-x| y=|2-x| = y=2-x, x2 y=-2+x, x<2 3) y=-|2-x| 4) y=2-|2-x| 5) y=|2-|2-x|| 6) y=-|2-|2-x|| 7) y=2-|2-|2-x|| 8) y=|2-|2-|2-x|||

y=|2-|2-|2-x||| y=2-xy=|2-x| y=2-|2-|2-x||y=2-|2-x|y=|2-|2-x||y=-|2-|2-x|| y=-|2-x| y=|2-|2-|2-x|||

Задание 4. Построить график функции у = |2-|2-|2-| x ||||.