Теорема Виета

Устная работа Устная работа 1. Подчеркните одной чертой уравнения, которые являются полными, двумя - приведёнными. 1) х² + 4х – 7 = 0 6) х² + 5х – 1 = 0 2) 3х² - 5х + 19 = 0 7) 2х² + 6х = 6 3) 7х² - 14 = 0 8) х 2 + х - 20 = 0 4) х х + 9 = 0 9) х 2 + х - 72 = 0 5) 6х 2 +11х+24 = 0 10) х² – 13х = 0

2. Вопросы классу: а) Какие уравнения называют полными квадратными уравнениями? б) Какие квадратные уравнения называются приведенными? в) От чего зависит число корней квадратного уравнения? г) Как найти дискриминант приведенного квадратного уравнения? д) При каком значении q дискриминант приведенного квадратного уравнения положителен

Проверка домашнего задания. Проверка домашнего задания. Заполните таблицу по образцу п/п УравнениеКорни уравнения Сумма корней Произведение корней Приме- чание 0х 2 - 4х - 21 = 0х 1 = 7 х 2 = -3 х 1 + х 2 = 4 х 1. х 2 = - 21 образец 1х х + 9 = 0х 1 = х 2 = х 1 + х 2 = х 1. х 2 = 2х 2 + 8х - 9 = 0х 1 = х 2 = х 1 + х 2 =х 1. х 2 = 3х 2 - х - 20 = 0х 1 = х 2 = х 1 + х 2 =х 1. х 2 = 4х 2 + х - 20 = 0х 1 = х 2 = х 1 + х 2 =х 1. х 2 =

Вывод:

Доказательство теоремы Виета: Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство: 1 способ: Дано приведенное квадратное уравнение. Решим его. D=p2-4q. Пусть D>0, тогда Найдём произведение и сумму корней

2 способ: Вычтем из первого уравнения второе Раз x 1 и x 2 – корни уравнения при подстановке их в уравнение получаются верные равенства. Таким образом, мы получили следующую зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит. Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

Заполните таблицу п/п УравнениеРешениеКорни уравнения 1х 2 + 5х + 6 = 0По теореме Виета: х 1 + х 2 = -5 х 1. х 2 = 6 х 1 = -2 х 2 = -3 2х 2 - 5х + 6 = 0По теореме Виета: х 1 + х 2 = х 1 *х 2 = х 1 = х 2 = 3х 2 + 5х - 6 = 0По теореме Виета: х 1 + х 2 = х 1. х 2 = х 1 = х 2 = 4х 2 - 5х - 6 = 0По теореме Виета: х 1 + х 2 = х 1. х 2 = х 1 = х 2 =

Выберете второй корень уравнения, соединив стрелками нужное значение. а) x 2 -2x-3=0 и x 1 =-1 x 2 =2 b) x 2 -7x+10=0 и x 1 = 5 x 2 =3 c) 12x+x 2 +32=0 и x 1 =-4 x 2 =-3 d) -18+3x+x 2 =0 и x 1 =-6 x 2 =0,5 e) 2x 2 -7x+3=0 и x 1 =3 x 2 =-8

Обратная теорема Обратная теорема Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение q, то эти числа являются корнями уравнения x 2 +px+q=0.

Памятка Обобщенная теорема Виета для любого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 Теорема обратная Теореме Виета x 1 + x 2 = - b / а x 1. x 2 = c / а x 1 + x 2 = - р x 1. x 2 = q Если для двух чисел m и n выполняются условия m + n = - р. m. n = q, то m и n – корни квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 т.е. x 1 = m x 2 = n

1. Составьте квадратное уравнение в котором сумма p и произведение q его корней равны: a)p=1, q=-6; b)p=-5, q=0; c)p=8, q=15; d)p=0, q= Составьте квадратные уравнения по известному значению их корней а) x1=1 и x2=- 5 в) x1=2 и x2=3 с) x1=5 и x2=4 d) x1=-11 и x2=-1

3. Определите знаки корней уравнения, если они существуют. x²-16х+9=0; х²-5х-1=0;х²+8х+2=0;х²-3х-7=0.

Памятка ax 2 + bx + c = 0 Если a+b+c=0, то ax 2 + bx + c = 0 Если a+c=b, то x 1 =1, а х 2 =c/a x 1 =-1, а х 2 =-c/a

Памятка ax 2 + bx + c = 0, тогда 1. Если ас>0 и а b>0, то оба корня отрицательные. 2. Если ас>0 и аb 0 и аb

Найдите корни уравнения: а) x²+19x-20=0; б) x²+4x+3=0; в) x²-16x-17=0; г) 12x²+17x+5=0; д) 83x²+100x+17=0.

СР. Теорема Виета Вариант А1 Для уравнения, имеющего корни х1 и х2, найдите их сумму и произведение: а) х² - 3х -10 = 0, б) х² +10х +21 = 0, х1 + х2 =_______, х1 + х2 =____­­­­­­___, х1 + х2 =_______, х1 + х2 =____­­­­­­___, х1 х2 =______. х1 х2 =______. х1 х2 =______. х1 х2 =______. Ученикам было предложено найти подбором корни уравнения х² - 8х + 15 = 0. Выберите верный ответ. х² - 8х + 15 = 0. Выберите верный ответ. А. 5 и -3; Б. 5 и 3; В. -5 и -3; Г. -5 и 3. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 10 и -3. х1 + х2 =__________________________________________________ х1 х2 =___________________________________________________ х1 х2 =____________________________________________________________________________________________________________ Запишите обратную теорему Виета для данного уравнения х² - 7х + 12 = 0 и найдите его корни ______________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ СР. Теорема Виета Вариант Б1 Для уравнения, имеющего корни х1 и х2, найдите их сумму и произведение: а) х² + 3х - 54 = 0, б) 2х² + 11х - 4 = 0, х1 + х2 =________, х1 + х2 =________, х1 + х2 =________, х1 + х2 =________, х1 х2 =______. х1 х2 =_______. х1 х2 =______. х1 х2 =_______. Ученикам было предложено найти подбором корни уравнения х² + 7х - 44 = 0. Выберите верный ответ. А. 4 и 11; Б. -4 и 11; В. 4 и -11; Г. -4 и -11. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни -1 и 1. х1 + х2 =__________________________________________________ х1 х2 =___________________________________________________ х1 х2 =____________________________________________________________________________________________________________ Запишите обратную теорему Виета для данного уравнения х² - х - 20 = 0 и найдите его корни. ______________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________

Домашнее задание Пункт , 586, 590, 595

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого – Умножишь ты корни, и дробь уж готова: В числителе «с», в знаменателе «а». И сумма корней тоже дроби равна, Хоть с минусом дробь та, ну что за беда: В числителе «b», в знаменателе «а»...