ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Распределение зарядов в проводниках Проводники - тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему их объему. Проводники делят на проводники первого рода (металлы - перенесение в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями) и проводники второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот - перенесение в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям). Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, В результате они начнут перемещаться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Если бы это было не так, то заряды двигались бы без затраты энергии, что противоречит закону сохранения энергии.

то согласно формуле, связывающей напряженность и Заметим, что поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной поверхностью. Вектор Е направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника : Если бы это было не так, то под действием тангенциальной (касательной) составляющей вектора напряженности электрического поля, Е, заряды начали бы перемещаться по поверхности проводника, что противоречит условию равновесного распределения зарядов. потенциал во всех точках внутри проводника постоянен: φ = const. потенциал, получим, что И так если

Эквипотенциальность поверхности проводника можно подтвердить, взяв цилиндрический заряженный проводник с коническим выступом на одном основании и такой же впадиной на другом и водить по нему пробным шариком на изолирующей ручке, соединенным с электроскопом. При перемещении шарика по наружной и внутренней поверхности проводника показания электрометра одинаковы Здесь показан вид линий напряженности (пунктирные линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) заряженного положительно металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом – впадину. Вблизи острия и выступов эквипотенциальные поверхности расположены гуще. А это означает, что там и напряженность поля больше. Соответственно на острие и выступах поверхностная плотность зарядов больше, чем на других участках поверхности цилиндра. В области впадины напряженность поля и поверхностная плотность зарядов минимальны.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса, согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, равен так как во всех точках внутри поверхности D = 0 (E = 0 внутри проводника ).

Распределение зарядов на поверхности проводника можно показать, взяв заряженный полый металлический стакан и коснувшись пробным шариком его внутренней и внешней поверхностей, перенести пробный шарик к незаряженному электроскопу. В первом случае пробный шарик не зарядился (левый рисунок), во втором - зарядился.

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью зарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями ΔS, пересекающему границу «проводник диэлектрик». Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е. Поток вектора электрического смещения сквозь внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит, и D равны нулю. Вне проводника напряженность поля направлена по нормали к поверхности. Следовательно, поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Согласно теореме Гаусса, этот поток (DΔS) равен сумме зарядов (Q = ΔS), охватываемых поверхностью: DΔS = ΔS, т. е. D = где - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение задает напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.

Проводник во внешнем электростатическом поле Если нейтральный проводник внести в электростатическое поле, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться. Положительные заряды по полю, отрицательные против поля (направления вектора напряженности). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом избыток отрицательного. Эти заряды называют индуцированным.. На рисунке показаны силовые линии электростатического поля, пунктирными показаны силовые линии внешнего поля, сплошными линиями показаны силовые линии, общего поля, поля созданного и внешними и индуцированными зарядами. Перераспределение зарядов на проводнике будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника станут перпендикулярными его поверхности.

Нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности. Они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называют электростатической индукцией. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием поля. Поверхностная плотность зарядов является поверхностной плотностью смещенных зарядов. По соотношению = D, электрическое смещение вблизи проводника численно равно поверхностной плотности смещенных зарядов. Поэтому вектор D получил название вектора электрического смещения.

В состоянии равновесия заряды внутри проводника отсутствуют, поэтому внутри полости поле будет отсутствовать. Если проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках окажется нулевой. Полость в проводнике окажется полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита - экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть использована густая металлическая сетка. Она является эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электрических полей.

Впервые электростатическая защита была продемонстрирована Фарадеем с помощью большого проволочного цилиндра на изоляторах. Снаружи цилиндра к боковой поверхности приклеены бумажные полоски, играющие роль электроскопа. В цилиндр через отверстие в основании вдоль оси вращения можно вдвигать металлический стержень. Стержень тоже заканчивается легкими бумажными листочками. Если цилиндр зарядить, то наружные листочки разойдутся, Листочки на металлическом стержне внутри цилиндра останутся неподвижными. Если их выдвинуть наружу, то они разойдутся. Доказывая, что поле существует только снаружи цилиндра.

Электроемкость уединенного проводника Как уже отмечалось, если проводнику сообщить заряд, то он распределяется по поверхности проводника так, чтобы напряженность электростатического поля внутри проводника стала равна нулю. Как будут распределяться заряды по проводнику, зависит от его формы. Каждая новая порция заряда, сообщаемая проводнику, будет распределяться по его поверхности. Если бы это было не так, то в проводнике возникло бы отличное от нуля поле. Но это справедливо лишь для уединенного проводника - проводника, который достаточно удален от других проводников, тел и зарядов.

Различные по величине заряды распределяются по поверхности проводника подобно предыдущим порциям. Сообщая проводнику больший заряд, мы пропорционально увеличиваем напряженность электростатического поля в каждой точке пространства, окружающего проводник. Это же приведет к увеличению в такое же число раз потенциала проводника. Таким образом, потенциал φ уединенного проводника пропорционален заряду Q, находящемуся на проводнике: φ Q обозначим коэффициент пропорциональности буквой С. φ =СQ Величину С называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость C уединенного проводника определяется количеством заряда Q, изменяющим его потенциал φ на единицу.

Емкость проводника зависит от величины и формы внешней поверхности, но не зависит от материала, агрегатного состояния, размеров и формы внутренних полостей проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не меняется в зависимости заряда проводника и его потенциала. Единица электроемкости в СИ фарада (Ф). 1[Ф] это емкость такого уединенного проводника, чей потенциал изменяется на 1[В] при сообщении ему заряда 1[Кл].

Рассчитаем электроемкость уединенного проводящего шара радиусом R, находящегося в однородной и изотропной среде с диэлектрической проницаемостью. Воспользовавшись известным соотношением найдем потенциал φ шара при сообщении ему заряда Q:

Емкостью 1[Ф] в вакууме обладал бы уединенный шар, и имеющий радиус R = 9×109 [м]. Эта величина примерно в 1400 раз больше радиуса Земли. С Земли ~ 0,7 [мФ]. Фарада очень большая величина, поэтому на практике используются доли фарады: миллифарада (мФ), микрофарада (мкФ), нанофарада (нФ), пикофарада (пФ). В справочных таблицах электрическую постоянную 0 = 8, приводят в (Ф/м) выражая из формулы

Типы конденсаторов. Электроемкость конденсаторов. Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают заряды. Индуцированные заряды, если приближают проводник, или связанные, если приближают диэлектрик. Ближайшими к наводящему заряду Q будут возникать заряды противоположного знака. Эти заряды ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, понижают потенциал проводника, что вызывает повышение его емкости. Устройства, обладающие способностью накапливать значительные по величине заряды (обладающие большой электроемкостью), получили название конденсаторов.

Конденсатор - система из двух проводников, называемых обкладками, с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами. Форма и расположение обкладок таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Основной характеристикой конденсатора является электроемкость где Q - заряд, накопленный в конденсаторе; (φ 1 - φ 2 ) - разность потенциалов между его обкладками.

Расчет емкости плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов. 1. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь. Поле между обкладками считать однородным. Согласно выражению, описывающему разность потенциалов между плоскостями, находящимися на расстоянии друг от друга.

- разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора при наличии между обкладками диэлектрика где - диэлектрическая проницаемость; - поверхностная плотность заряда на обкладках. Учитывая, что Q = S, а также получим электроемкость плоского конденсатора из соотношения

Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок, разделенных слоем диэлектрика. Как уже было получено ранее, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы, при наличии диэлектрика между обкладками, определяется выражением: Сферический конденсатор Подставив это выражение в определение, электроемкости, получим выражение для емкости сферического конденсатора

Цилиндрический конденсатор где - линейная плотность заряда. Цилиндрический конденсатор состоит из двух полых коаксиальных цилиндров, Получим выражение для разности потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора при наличии диэлектрика между обкладками радиусами r 1 и r 2 ( r 2 > r t ), вставленных один в другой (имеющих общую ось вращения). Если высота цилиндров значительно (более чем в 100 раз) превышает диаметры, можно считать, что в направлении оси вращения цилиндров поле отсутствует. Значит, поле целиком сосредоточено в направлении, перпендикулярном оси (поле радиально симметрично и сосредоточенно между цилиндрическими обкладками).

Емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов. Конденсаторы характеризуют напряжением пробоя - разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит электрический пробой - разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для получения различных возможных значений электроемкости, а также ее варьирования используют различные соединения конденсаторов, основные из которых - их параллельное и последовательное соединения. Последовательное и параллельное соединения конденсаторов

Полная электроемкость батареи конденсаторов При параллельном соединении конденсаторов результирующая емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Параллельное соединение конденсаторов. У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна φ А - φ В. Если емкости отдельных конденсаторов С 1, С 2,..., С n, то, заряды сосредоточенные на каждом конденсаторе равны Q 1 = C 1 (φ А - φ В ) Q 2 = C 2 (φ А - φ В ) Q 3 = C 3 (φ А - φ В ) Q n = C n (φ А - φ В ) а заряд всех конденсаторов, или, как говорят, конденсаторной батареи

Последовательное соединение конденсаторов. При последовательном соединении конденсаторов разность потенциалов на каждом конденсаторе разная и определяется отношением, заряды, индуцированные на каждом конденсаторе, вызваны друг другом и могут быть только равны друг другу. Суммарная разность потенциалов батареи конденсаторов равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе и равна разности потенциалов, создаваемой источником питания.

При последовательном соединении конденсаторов для получения результирующей емкости сначала находят ее обратную величину, последовательно суммируя обратные величины емкостей, конденсаторов, входящих в батарею. Результирующая емкость батареи конденсаторов С, при последовательном соединении конденсаторов, всегда меньше емкости самого малого конденсатора, используемого в батарее.

Энергия уединенного заряженного проводника. При сообщении уединенному проводнику некоторого заряда Q вокруг него возникает электростатическое поле и потенциал проводника будет равен где С - емкость проводника, Q=Сφ. Чтобы увеличить заряд проводника на dQ, необходимо совершить работу по перенесению этого заряда из бесконечности на уединенный проводник: dA = φdQ = φdCφ = Сφdφ. Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электростатического поля проводника. Она идет на увеличение энергии заряженного проводника. Работа, которую следует совершить при увеличении потенциала от нуля до φ, Тогда энергия заряженного уединенного проводника

Энергия заряженного конденсатора. Если Q - заряд конденсатора, φ= φ 1 - φ 2 - разность потенциалов между обкладками конденсатора, то для перенесения заряда dQ с одной обкладки на другую внешние силы должны совершить работу Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от нуля до Q Тогда энергия заряженного конденсатора Это выражение отличается от выражения для энергии уединенного проводника только тем, что для удаленного проводника φ 2 = 0, то есть, как будто, вторая обкладка лежит в бесконечности.

Из выражения энергии конденсатора можно найти кулоновскую силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Такую силу называют пондеромоторной силой. Предположим, что первоначальное расстояние х между пластинами увеличиваем на dх. При этом приложенная к пластине сила совершает работу dA = Fdx за счет уменьшения потенциальной энергии системы: Fdx = - dW Подставив в формулу энергии заряженного конденсатора,получим Производя дифференцирование при конкретном значении энергии, найдем искомую силу: знак «минус» указывает на то, что сила F является силой притяжения. Таким образом, пондеромоторная сила выражение

Записав выражение для энергии заряженного плоского конденсатора выразим ее через величины, характеризующие электростатическое поле в зазоре между его обкладками. Учитывая, что электроемкость плоского конденсатора и разность потенциалов между его обкладками φ 1 – φ 2 = Ed, получим Энергия электростатического поля где V= Sd - объем конденсатора (объем, в котором сосредоточено поле).

Формула связывает энергию конденсатора с основной характеристикой электростатического поля - напряженностью Е. Поскольку в конденсаторе электростатическое поле однородно, поэтому энергия распределена по объему конденсатора равномерно с объемной плотностью (энергия единицы объема) учитывая, что по определению D = о Е электрическое смещение. Выражение для w справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется известное соотношение

Полученные соотношения связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Если известна плотность энергии в каждой точке w, то энергия, заключенная в объеме V, Применяя эту формулу, рассчитаем энергию электростатического поля заряженного проводящего шара радиусом R, находящегося в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью. Напряженность поля создаваемого шаром, согласно теореме Гаусса

а энергия, заключенная в этом слое, Мысленно разобьем пространство, окружающее шар, на концентрические шаровые слои толщиной dr. Объем такого слоя dV= 4πr 2 dr, где С = 4π 0 - электроемкость шара.

Сравнивая формулу, определяющую энергию электростатического поля заряженного проводящего шара, и выражение, определяющее энергию уединенного проводника (заряд Q и емкость С), видим, что они совпадают.