1© Богомолова ОМ

Задача 1 В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 2 Богомолова ОМ

Решение 1 Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 …F 1. Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1, и искомый угол φ между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1. В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 = Применяя теорему косинусов, получим 3 Богомолова ОМ

Решение 2 Введем систему координат, считая началом координат точку A (0; 0; 0), тогда B(1, 0, 0), A 1 (0, 0, 1), С 1 имеет координаты Вектор (1, 0, 1), вектор Воспользовавшись формулой, выражающей косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины, где,, имеем, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75. 4 Богомолова ОМ

Критерии оценивания выполнения задания С2 2 Правильный ход решения. Верно построен или описан искомый угол. Получен верный ответ 1 1) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомого угла, не повлиявшая на ход решения 2) Правильный ход решения. Верно построен и описан искомый угол, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ 0 1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа 2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в вычислениях, приведшие к неправильному ответу 3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу 4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или существенных ошибках в вычислениях 5 Богомолова ОМ

Задача 2 В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1. 6 Богомолова ОМ

Решение 1. Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1. Угол φ между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1. В Δ B 1 AE 1 имеем: AB 1 =, AE 1 = 2, B 1 E 1 =. Применяя теорему косинусов, получим. 7 Богомолова ОМ

Решение 2. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1,, 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем,,. Следовательно, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен. 8 Богомолова ОМ

Задача 2. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1. 9 Богомолова ОМ

Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о. Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B, перпендикулярная AB 1. Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1, т.е. искомый угол равен 90 о. 10 Богомолова ОМ

Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1, и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1. Искомый угол равен углу E 1 BG 1. Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна. В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна. В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и. Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна. Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о. 11 Богомолова ОМ

Решение 3. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0,, 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0,, 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1,, 1). Воспользуемся формулой 12 Богомолова ОМ