Виконали учні гр.. 12 Кобулей В., Лібак І.

Ознайомитися з видами правильних многогранників, їх характеристиками та властивостями. Впевнитися, що дійсно існує тільки п΄ять видів правильних многогранників. Тетраедр Гексаедр (куб) Октаедр Додекаедр Ікосаедр

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією і тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер. Такі многогранники ще називають платоновими тілами. Доведення того, що існує всього п΄ять правильних опуклих многогранників дуже просте.

Кожний кут правильного трикутника дорівнює 60 °, тому з правильних трикутників можна утворити тільки три види правильних многогранників. Правильний чотиригранник, або правильний тетраедр, поверхня якого має 4 грані, 4 вершини і 6 ребер. В кожній вершині сходиться 3 ребра (3·60° = 120° < 360°). Правильний тетраедр

Правильний восьмигранник або октаедр, поверхня якого складається з восьми правильних трикутників. Він має 8 граней, 8 вершин і 12 ребер. В кожній вершині сходиться 4 ребра (4·60° = 240° < 360° ). Правильний двадцятигранник або ікосаедр, утворений двадцятьма правильними трикутниками. Він має 20 граней, 12 вершин і 30 ребер. В кожній вершині сходиться 5 ребер (5·60° = 300° < 360° ). Октаедр та ікосаедр

Кут квадрата дорівнює 90°. Тому з квадратів можна утворити тільки один правильний многогранник, в кожній вершині якого може сходитися лише три ребра (3·90° = 270° < 360° ). Це правильний шестигранник, або гексаедр, або куб. Він має 6 граней, 8 вершин і 12 ребер. Якщо гранями правильного многогранника є правильні пятикутники, то в кожній вершині може сходитися лише три ребра (3·108° = 324° < 360° ). Це правильний дванадцятигранник, або додекаедр. Він має 12 граней, 20 вершин і 30 ребер. Гексаедр та додекаедр

Кут правильного шестикутника дорівнює 120°. Тому з таких кутів не можна утворити навіть тригранного кута. З кутів правильних многокутників, що мають більше шести сторін, тим більше не можна утворити ніякого многогранного кута. Неможливіть існування многогранника, який утворений з правильних шестикутників

Многогранник Кількість вершин Кількість ребер Кількість граней Тетраедр 464 Куб 8126 Октаедр 6128 Додекаедр Ікосаедр Теорема Ейлера. Нехай В – кількість вершин опуклого многогранника, Р – кількість його ребер, Г – кількість граней. Тоді виконується рівність: В – Р + Г = 2.

Правильних многогранників з гранями, які мають шість і більше кутів, не існує. Отже, ми впевнилися, що існує тільки п΄ять видів правильних опуклих многогранників: Тетраедр, октаедр й ікосаедр з трикутними гранями; Гексаедр з квадратними гранями. Додекаедр з гранями у формі правильного п΄ятикутника.

Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підручник для кл. серед. шк. – 6-е вид. – К.: Освіта, – 128 с. Геометрія: Підручник для кл. загальноосвіт. навч. закладів / Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова. – К.: Вежа, – 224с.: іл. Балінська Л.А., Койчу Б.М. Геометрія. Уроки-практикуми для 11 класу. Частина І. – Львів: ВНТЛ, – 144 с. apter8/section/paragraph1/theory.html