Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності. Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В.

Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Зміст Означення показникової функції Властивості показникової функції Графік показникової функції Основні показникові тотожності Показникові рівняння Показникові нерівності Застосування показникової функції

Показниковою функцією називається функція виду y = a x, a > 0, a 1 Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В.

Властивості показникової функції Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Властивості Функція y = a x a > 10 < a < 1 Область визначення х є R, D(у) = R Множина значень у > 0; Е(у) = (0; +) Показникова функція набуває лише додатних значень Значення у для х = 0 х = 0; у = 1 Графік перетинає вісь Оу в точці (0;1) Значення у для х > 0 х > 0; у > 0. a x > 1, при х > 0 х > 0; 0 < у < 1. 0 Значення у для х < 0 х < 0; 0 < у < 1. 0 < a x < 1, при х < 0 х 1. a x > 1, при х < 0 Монотонність Зростає на всій числовій прямій (більшому показнику відповідає більший степінь). Спадає на всій числовій прямій (більшому показнику відповідає менший степінь).

Основні показникові тотожності Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. а х+у = а х а у 2 x+2 = 2 x2 2 = 42 x а х-у = а х :а у 3 1-x = а ху = (а х ) у = (а у ) х 5 2x = (5 2 ) x = 25 x ; а х b x = (ab) x 2 x5 x = (25) x = 10 x a 0 = 1; a 1 1 = 7 0 a 1 = a; a = 5 a -n = ; a 0 ; a > 0

Графік показникової функції Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В.

Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові рівняння Рівняння, в яких невідоме входить до показника степеня, називають показниковими. Наприклад: 2 х-3 = 32; 5 2х+1 = 1. Загального способу розвязання таких рівнянь не існує. Розглянемо деякі типи і способи розвязування показникових рівнянь. І. Найпростіші та ті, які зводяться до них таким шляхом: а) зведення до однієї основи; б) винесення спільного множника за дужки; в) ділення обох частин на степінь. ІІ. Показникові рівняння, які зводяться до алгебраїчних: а) зведення до квадратного шляхом заміни; б) однорідні. ІІІ. «Нестандартні» показникові рівняння.

Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Розвязування найпростіших показникових рівнянь. a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) Розвязати рівняння 3 х+1 = 9.3 х+1 =1.3 х+1 = -7.3 х+1 = 0.3 х = 6. Розвязання. 3 х+1 = 3 2 ; х + 1 = 2; х = 1. 3 х+1 =3 0 ; х + 1= 0; х = -1. Функція у = 3 х набуває лише додатних значень, тому рівняння не має розвязків. х = log 3 6. Відповідь: х = 1.х = -1. Рівняння розвязків не має. х = log 3 6 Найпростіші показникові рівняння – це рівняння виду: а х = b, а 1, b > 0

Зведення показникових рівнянь до найпростіших шляхом зведення до спільної основи Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Розвязати рівняння. Розвязання. Зведемо обидві частини рівняння до основи 5: 0,2 = = = 5 -1 ; = = ; 0,04 = = = Прирівняємо показники степенів при рівних основах: Розвяжемо одержане рівняння: х = 2. Відповідь. 2.

Показникові рівняння виду зводяться до найпростіших шляхом винесення за дужки спільного множника, де k i – найменше із чисел k 0, k 1, k 2,…, k і. Зведення показникових рівнянь до найпростіших шляхом винесення спільного множника за дужки Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. При діленні степенів з однаковими основами основа залишається, а показники – віднімаються. Розвязати рівняння. Розвязання. Винесемо за дужки спільний множник (множник з найменшим із наявних показників): Виконаємо дії в дужках: Розділимо ліву і праву частину рівняння на вираз в дужках: ; Зведемо до однієї основи: ; Прирівняємо показники і розвяжемо одержане рівняння: 2х -1 = 1; х = 1. Відповідь. х = 1.

Зведення показникових рівнянь до найпростіших шляхом ділення лівої і правої частини на один із степенів. Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові рівняння виду а nx = b nx зводяться до найпростіших шляхом ділення обох частин на b nx або а nx ( а nx 0, b nx 0). Розвязати рівняння. 3 х-2 = 5 х-2. Розвязання. Розділимо обидві частини рівняння на 5 х-2 0: Зведемо обидві частини до однієї основи, використовуючи властивості ; a 0 = 1; Прирівняємо показники і розвяжемо одержане рівняння. х-2 = 0; х=2. Запишемо відповідь:Відповідь: х=2.

Зведення показникових рівнянь до квадратних шляхом введення нової змінної Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Справедливі такі властивості степенів: а х+у = а х а у а х-у = а х :а у а ху = (а х ) у = (а у ) х Розвязати рівняння:3 х х+2 = 810. Розвязання. Виконавши тотожні перетворення, зведемо рівняння до квадратного: 3 2(х+1) + 3 х+1+1 = 810; 3 2(х+1) + 33 х+1 – 810 = 0; Зробимо заміну: Заміна: 3 х+1 = t, t > 0; Тоді 3 2(х+1) = t 2. Розвяжемо одержане квадратне рівняння відносно t: t 2 + 3t – 810 = 0; t 1 = 27; t 2 = -30 – не задовольняє умову t >0. Повернемось до заміни і розвяжемо показникове рівняння: 3 х+1 = 27; х + 1 = 3; х = 2. Запишемо відповідь.Відповідь: 2.

Зведення показникових рівнянь до квадратних шляхом по членного ділення на один із степенів Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові рівняння виду Aa 2x + B(ab) x + Cb 2x = 0 є однорідними. Розвязуються такі рівняння почленним діленням, як правило, або на а 2х 0, або на b 2x 0 (а 2х > 0, b 2x > 0). Розвязати рівняння. 316 х х = 536 х. Розвязання. Запишемо рівняння так: 34 2х х - 5(49) х = 0. Розділимо обидві частини рівняння на 4 2х 0: = ; = = = 0. Зробимо заміну: = t; t > 0. Розвяжемо одержане квадратне рівняння:2t 2 – 5t + 3 = 0; Повернемось до заміни і розвяжемо показникові рівняння: Запишемо відповідь.Відповідь: 0;.

показникові нерівності Нерівності, в яких невідоме входить до показника степеня, називаються показниковими. Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Найпростіші показникові нерівності – це нерівності виду: a x > b; a x 0; a 1; b > 0. Розв язування найпростіших показникових нерівностей: a > 1 a f(x) > a g(x) f (x) > g(x) Знак нерівності не змінюється 0 < a < 1 a f(x) > a g(x) f (x) < g(x) Знак нерівності змінюється на протилежний

Розвязування найпростіших показникових нерівностей. Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Розвязати нерівність. 7 х+1 > х > 0.2 х > -3.2 х < 0.2 х < -3. Розвязання. 7 х+1 > > 1 у =7 t – зростаюча функція. х + 1 > 3 х > 2. 0 < < 1 у = - спадна функція. х– 3 > 3; х > 6. 2 х > 0 для всіх х. х – будь-яке число. Нерівність не має розвязків, оскільки 2 х > 0 для всіх х. Відповідь.(2; +).(6; +).х.

Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом винесення спільного множника за дужки Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Розвязати нерівність.4 х х + 4 х Розвязання. Винесемо спільний множник за дужки:4 х-1 (44 х+2-(х-1) + 4 х-(х-1) + 1) 276. Виконаємо дії в дужках: 4 х-1 ( ) 276; 4 х Розділимо ліву і праву частини нерівності на 69: 4 х-1 4. Розвяжемо одержану нерівність (памятаючи про монотонність функції з даною основою): 4 > 1, у = 4 х – зростаюча. х -1 1; х 2. Запишемо відповідь.(-; 2]. Показникові нерівності виду зводяться до найпростіших шляхом винесення за дужки спільного множника, де k i – найменше із чисел k 0, k 1, k 2,…, k і.

Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом ділення лівої і правої частин на один із степенів Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові нерівності виду зводяться до найпростіших шляхом ділення обох частин на ( ). Розвязати нерівність. Розвязання. Домножимо обидві частини нерівності на Зведемо до однієї основи: Розвяжемо показникові нерівність: - зростаюча Запишемо відповідь.Відповідь:.

Зведення показникових нерівностей до квадратних шляхом введення нової змінної Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові нерівності виду зводяться до квадратних шляхом заміни (показникова функція набуває лише додатних значень). Розвязати нерівність Розвязання. Перетворимо ліву частину нерівності: Зробимо заміну: Розвяжемо одержану нерівність, враховуючи, що Повернемось до заміни та розвяжемо показникові нерівність: - зростаюча. Запишемо відповідь.Відповідь: (0;1)

Зведення показникових нерівностей до квадратних шляхом почленного ділення на один із степенів Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Показникові нерівності виду є однорідними. Розвязуються такі нерівності почленним діленням, як правило, або на або на. Розвязати нерівність. Розвязання. Запишемо нерівність у вигляді: Розділимо обидві частини нерівності на Зробимо заміну: Розвяжемо одержану нерівність, враховуючи, що Повернемось до заміни і розвяжемо показникові нерівність: - спадна функція; Запишемо відповідь:Відповідь:

Застосування показникової функції Свалявський професійний будівельний ліцей Дьолог В.В. Багато процесів у природі і техніці можна описати формулою показникової функції. А саме: а) кількість бактерій зростає по експоненті; б) сила струму спадає по експоненті; в) приріст капіталу в банку змінюється за властивістю показникової функції; г) радіоактивний розпад характеризується показниковою функцією; д) швидкість хімічної реакції пропорційна до кількості речовин, які реагують. Задача. Визначити кількість населення світу у 2010 р., якщо у 2002 р. на Землі проживало 6 млрд осіб. Середньорічний приріст населен­ня становить 2 %. Вказівка. Для обчислення можна скористатися формулою складних відсотків: