«Функции одной вещественной переменной Свойства и графики» Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

Определение функции Предел функции Таблица замечательных пределов Основные свойства пределов функции Бесконечно малые функции. Метод эквивалентных бесконечно малых величин Непрерывные функции Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если каждому значению, которое может принять переменная х, по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определённое значение переменной у, то говорят, что у есть функция от х. Обозначают: Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции. Переменная у называется зависимой переменной или функцией.

Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений. Пример.

2. Табличный способ: функция задаётся таблицей ряда значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путём или в результате наблюдений

3 Графический способ задаётся график функции. Графиком функции y = f(x) называется множество точек (х; у) плоскости О х у, координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением этого графика.

Совокупность всех значений аргумента х, для которой функция y=f(x)определена, называется областью определения этой функции (обозначают D(f(x)) или D(у)).

Совокупность всех значений, принимаемых переменной у, называют областью значений функции y=f(x) (Обозначают Е(f(x))или Е(у)).

Функция y = f(x)называется чётной (нечётной), если для каждого х из области определения функции число –х также принадлежит её области определения и выполняется равенство f ( - x ) = f ( x ) ( f ( - x ) = - f ( x )). Какая функция называется чётной( нечётной)?

Функция y = f (x)называется периодической, если существует такое числоT0, что для каждого х из области определения функции значения х + Т и х -Т также принадлежат её области определения, и при этом выполняются равенства f ( x – T ) = f ( x ) = f ( x + T ). Число Т называется периодом функции y=f(x). Какая функция называется периодической?

Какая функция называется возрастающей? Функция y=f(x)называется возрастающей если для любых х из области определения этой функции и таких, что выполняется неравенство

Какая функция называется убывающей? Функция y = f(x)называется убывающей, если для любых х из области определения этой функции и таких, что выполняется неравенство

Обзор элементарных функций и их графиков Многочлен вида где постоянные числа, называемые коэффициентами многочлена; m – натуральное число, называемое степенью многочлена, называется целой рациональной функцией. Эта функция определена на всём множестве действительных чисел.

Степенная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Элементарные функции

Степенная функция – - это функция, вида где действительное число. Она определена, при всех значениях х, если показатель степени натуральное число; при всех х, не равных нулю, если показатель степени - целое отрицательное число, и при всех х>0, если показатель степени - произвольное действительное число.

Пример. График этой функции верхняя ветвь параболы

где называется показательной. Она определена на всём множестве действительных чисел. Функция вида

где называется логарифмической. Она определена при x>0.

Функция y = arcsin x. Здесь у – переменная из сегмента синус которой равен х, т.е. х = sin y. Область определения этой функции – сегмент

Функция y = arcos x означает, что x = cos y, причём :

Функция y = arctg x есть переменная, тангенс которой равен х, т.е. x = tg y, причем х – любое и

Функция y = arcctg x есть переменная, для которой x = ctg y, где х – любое и