Теорема о биссектрисе треугольника Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Теорема о биссектрисе треугольника А В СD Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам 1 2 Доказать: Доказательство: (используйте рекомендации) 3 4 1). Запишите теорему синусов для ΔАВD, используя стороны DB и AB 2). Перепишите пропорцию в виде 3). Запишите теорему синусов для ΔАСD, используя стороны DC и AC 4). Перепишите пропорцию в виде 5). Учтите свойство синусов смежных углов и то, что 6). Сравните равенства

А В С D В ΔАВС со сторонами АВ, ВС, АС и биссектрисой AD справедливы равенства Следствие к теореме

Следующее утверждение связывает биссектрису AD со сторонами ΔАВС Квадрат биссектрисы треугольника, проведённой из какой- либо его вершины, равен произведению двух его сторон, проведённых из этой же вершины, минус произведение отрезков третьей стороны

Рекомендации к решению задачи 837 Биссектриса внешнего угла ΔАВС при вершине А пересекает прямую ВС в точке D А В С D 1 2 Докажите: BD:AB = DC:AC или Доказательство: (затрудняетесь – используйте рекомендации) 1). Проведите высоту ΔАСD из вершины А М 2) Задайте площади: ΔАСD и ΔАВD, используя высоту АМ 3) Вычислите: 4). Проведите высоту ΔАСD из вершины С Е 5) Задайте площадь ΔАСD, используя высоту СЕ 6). Проведите высоту ΔАВD из вершины В F 7) Задайте площадь ΔАBD, используя высоту BF

Продолжение 837 А В С D 1 2 М Е F 8) Вычислите: 3 9) Сделайте заключение об углах 2 и 3 10) Сделайте заключение об углах 3 и 1 11) Обоснуйте подобие ΔАВF и ΔАСЕ 12) Запишите пропорцию, используя стороны: BF, CE и АВ, АС; обозначьте её (****) Из равенств (*) и (**) составьте пропорцию, обозначьте её (***) 13) Составьте новую пропорцию, используя равенства (***) и (****) 14) Сравните её с тем, что надо было доказать С удачным завершением решения задачи, успехов!!!

Письменный опрос следующего урока, проверяющий усвоение теории, может включать следующие задания:

1. Изобразите треугольник; обозначьте его вершины; (для каждого варианта названия вершин даст учитель); запишите для него теорему синусов 2. Запишите теорему косинусов для какой – то стороны треугольника 3. Запишите выражения для косинуса какого-то угла треугольника 4. Проведите какую-то медиану, запишите равенство по теореме о медиане треугольника 5. Проведите какую-то биссектрису, запишите для неё равенство по теореме о биссектрисе 6. Запишите равенство для квадрата биссектрисы