Конечные геометрии Казарин Алексей, ученик 9 класса гимназия 2 г. Самары

Цель исследования: установить, существует ли числовая модель плоскости, состоящей из конечного числа точек Для этого необходимо ответить на следующие вопросы: Какова система аксиом конечной плоскости? Как выглядит числовая модель минимальной плоскости? Как перенести эту конструкцию на общий случай? Из скольких точек может состоять конечная плоскость?

Из пяти Евклидовых аксиом оставим группу соединения и параллельности: 1. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая; 2. Для каждой прямой и не принадлежащей ей точки существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая этой прямой (т.е. параллельная ей); 3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реализаций и среди них и такие, которые, в резком противоречии с нашей интуицией, имеют лишь конечное число точек и прямых. Рассмотрим одну из них!

Возьмем 4 точки: A, B, C, D. Они образуют 6 «прямых»: AB, DC; AD, BC; AC, BD. (мы разделили точкой с запятой семейства параллельных прямых). Попытаемся оцифровать эту «плоскость». Применим следующую конструкцию: обозначим через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и определим действия сложения и умножения над символами Ч и Н по аналогии с тем, как ведут себя четность и нечетность при сложении и умножении. Например, положим Ч + Н = Н и т.д. Результаты можно выразить в таблицах сложения и умножения, изображенных на рис. 3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными так действиями будет служить нам для введения координат на «плоскости» рис. 1. Для этого присвоим точкам координаты (X,Y): А – (Ч, Ч), В – (Ч, Н), С – (Н, Ч), D – (Н, Н). Легко проверить, что прямые определяются при этом линейными уравнениями: AB : HX = Ч;CD : HX = H;AD : HX + HY = Ч; BC : HX + HY = H;AC : HY = Ч;BD : HY = H, Притом это единственные непротиворечивые линейные уравнения, которые можно образовать при помощи двух величин Ч и Н. рис. 1 рис. 2 рис. 3 Числовая модель минимальной плоскости

Возьмём больше точек... Для этой конструкции все числа нужно делить уже не на два, а на три множества: U, V иW - числа, сравнимые с нулём, единицей и двойкой по модулю три соответственно - и каждая из девяти точек задаётся парой этих элементов, а прямые - всевозможными линейными уравнениями с такими коэффициентами. Таблицы сложения и умножения будут аналогичными предыдущему случаю, хотя и несколько сложнее.

F p F p F p Конечные поля Легко проверить, что конструкции, описанные на двух предыдущих слайдах, удовлетворяют всем аксиомам поля. Теперь можно взглянуть на них с другой точки зрения. Ведь обычная евклидова плоскость есть набор упорядоченных пар элементов поля вещественных чисел. А наши конечные плоскости, получается, - это набор упорядоченных пар чисел из конечного поля. Значит, на конечной плоскости может быть в точности k 2 точек, где k - количество элементов выбранного конечного поля. А конечное поле, как известно, может состоять из p n точек, где p - некоторое простое число (такие числа называются примарными). Таким образом, количество точек на конечной плоскости всегда равно квадрату некоторого примарного числа. F p F p F p F p