Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Рассмотрим примеры уравнений, которые можно свести к алгебраическим уравнениям. 18 (1). Найти действительные корни уравнения: Решение. Выполнив преобразования, уравнение можно свести к алгебраическому уравнению: Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Проверка показывает, что только Р( 3) = 0, значит,

х³ + х² 4 х + 6 х + 3 х²х³ + 3 х² 2 х² 4 х 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения, тогда

Возвратные уравнения

Алгебраические уравнения вида: Возвратные уравнения это уравнения, у которых коэффициенты, одинаково удалённые от начала и от конца, равны между собой. и т. д. называются возвратными уравнениями. Их решают с помощью замены:

Заметим, из того, что 1 !!!

19 (1). Решить возвратное уравнение: Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение можно разделить на х², получив Сделаем замену тогда 6 (t² 2) 35 t + 62 = 0 или

6 t² 35 t + 50 = 0, D = = 25; D =25 16 = 9, тогда D =25 9 = 16, тогда Ответ: ½; ; 2; 3.

21*(2). Решить уравнение: Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение можно разделить на х², получив Пустьтогда 2 (t² + 2) 15 t + 14 = 0 или

2 t² 15 t + 18 = 0, D = = 81; D = = 25, тогда D = = 10, тогда Ответ: ½; 2;

показать Самостоятельно решить уравнение: t² 7t + 12 = 0, 6 t² + 5 t 50 = 0,

показать

Ответ: Ответ: 3; ; ½; 2.

Решение рациональных уравнений

Уравнение это пример целого уравнения. Уравнение это пример рационального уравнения, так как его членами являются рациональные алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены.

Схема решения рационального уравнения Умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение, считая, что он не равен нулю. Свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его. Проверить, при каких найденных значениях неизвестного общий знаменатель не равен нулю.

20 (1). Решить рациональное уравнение: Решение. Перепишем уравнение в виде: Умножая это уравнение на общий знаменатель (х + 1)(2 х) 0, получаем х²(2 х) + 5(х + 1) = 11;2 х² х³ + 5 х = 0; х³ 2 х² 5 х + 6 = 0.

Решаем это уравнение, находя его целые корни: х 1 = 1; х 2 = 2; х 3 = 3. Проверка:при х = 1 (х + 1)(2 х) 0, при х = 2 (х + 1)(2 х) 0, при х = 3 (х + 1)(2 х) 0. Ответ: 1; 2; 3.

22 (1). Найти действительные корни уравнения: Решение. х² 3 х + 2 =(х 1)(х 2), тогда Умножая это уравнение на общий знаменатель (х 1)(х 2) 0, получаем (х ³ 9 х²)(х 2) + (х 1) + 27(х 1)(х 2) = 2 х 3;

Решаем это уравнение, находя его корни: х 1 = 2; х 2 = 4. Проверка:при х = 2 (х 1)(х 2) = 0, значит, 2 посторонний корень; при х = 4 (х 1)(х 2) 0. Ответ: 4.

Решение уравнений, сводящихся к алгебраическим, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

2.24 (4 балла) Решите уравнение: 1) ( х² + 4 х )( х ² + 4 х 17)= 60 Решение. Сделаем замену:х² + 4 х = у, получим уравнение( у 17 ) = 60 или у² 17 у + 60 = 0, корни которого у = 5; у = 12. Вернёмся к замене, получим уравнения: а) х² + 4 х = 5 или х² + 4 х 5 = 0, где х 1 = 5, х 2 = 1; б) х² + 4 х = 12 или х² + 4 х 12 = 0, где х 3 = 6, х 4 = 2. Ответ: 5; 1; 6; 2.

2.25 (4 балла) Решите уравнение: Решение. Сделаем замену: получим уравнение(у + 3)( у 4 ) + 10 = 0 или у² у 2 = 0, корни которого у = 1; у = 2. Вернёмся к замене, получим уравнения: или х² 3 х + 2 = 0, где х 1 = 1, х 2 = 2; или х² 3 х 4 = 0, где х 3 = 1, х 4 = 4. Ответ: 1; 2; 1; 4.

2.54 (6 баллов) Решите уравнение: 1) ( 2 х² х + 1)² + 6 х = х² Решение. Перепишем уравнение в виде ( 2 х² х + 1)² ( 9 х² 6 х + 1) = 0 или ( 2 х² х + 1)² ( 3 х 1)² = 0; используем формулу разности квадратов, получаем: (2 х² х х + 1)(2 х² х х 1) = 0, (2 х² 4 х + 2)(2 х² + 2 х) = 0,х(х² 2 х + 1)(х + 1) = 0, х(х 1)²(х + 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). Поэтому получаем корни уравнения: х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 1. Ответ: 0; 1; 1.

2.56 (6 баллов) Решите уравнение: Решение. Перепишем уравнение в виде 1) ( х² 7 х + 13 )² (х 3)(х 4)= 1 ( х² 7 х + 13 )² (х² 7 х ) 1 = 0 Сделаем замену:х² 7 х +13 = у,получим уравнение у² ( у 1) 1 = 0; у² у = 0 или у(у 1) = 0, корни которого у = 0; у = 1. Вернёмся к замене, получим уравнения: а) х² 7 х + 13 = 0 где нет корней, так как D < 0; б) х² 7 х + 13 = 1 или х² 7 х + 12 = 0, где х 1 = 3, х 2 = 4. Ответ: 3; 4.

2.57 (6 баллов) Решите уравнение: 1) ( х 2 )( х 1 )( х + 2 )( х + 3 )= 60 Решение. Перепишем уравнение в виде ( ( х 2 )( х + 3 ) )( ( х 1 )( х + 2 ) ) = 60; ( х² + х 6 ) ( х² + х 2 ) = 60 или Сделаем замену: ( х² + х 4 2 ) ( х² + х ) = 60. х² + х 4 = у,получим уравнение (у 2)(у + 2) = 60; у² 4 = 60 или у² = 64, где у = ± 8. Вернёмся к замене, получим уравнения: а) х² + х + 4 = 0, где нет корней, так как D < 0; б) х² + х 12 = 0, где х 1 = 4, х 2 = 3. Ответ: 4; 3.

2.64 (6 баллов) Решите уравнение: Решение. Учтём, что х 0 и х² + х 5 0. (*) получим уравнение у² + 4 у + 3 = 0,корни которого у = 3; у = 1. Сделаем замену: Вернёмся к замене, получим уравнения: или х² + 4 х 5 = 0, где х 1 = 5, х 2 = 1; или х² + 2 х 5 = 0, где Ответ: 5; 1;х 1 ; х 2 ; х 3 ; х 4 удовлетв. узлов. (*)

2.67 (6 баллов) Решите уравнение: Решение. Учтём, что х (*) Приведём уравнение к виду Сделаем замену: И продолжим решение аналогично предыдущим задачам Ответ: 1; 2.

2.68 (6 баллов) Решите уравнение: Решение. Это возвратное уравнение; заменой приведём его к у уравнению: 2(t² + 2) 11t + 8 = 0 или 2t² 11t + 12 = 0. Дальнейшее решение аналогично рассмотренным ранее возвратным уравнениям. Ответ: 0,5; 2;

2.69 (6 баллов) Решите уравнение: Решение. Перепишем уравнение в виде или Сделаем замену:х² + 4 х 5 = у,получим уравнение

у² +18 у + 72 = 0, корни которого у = 12; у = 6. Вернёмся к замене, получим уравнения: а) х² + 4 х + 7 = 0, где нет корней, так как D 1 < 0; б) х² + 4 х + 1 = 0, где Ответ: Учтём, что у 0 и у (*) Условие, что у 0 и у выполняется.