РАССТОЯНИЕ И УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМИ (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРУППЫ С2 ЕГЭ)

Основные принципы построения изображения пространственной фигуры выбор оптимального положения изображаемого тела; выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом); умение строить сечения и проекции на плоскость; умение выделить на построенном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи.

Первый способ сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости Идея заключается в построении: а) двух параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой скрещивающейся прямой. Расстояние между этими плоскостями будет искомым. б) в построении плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой. Расстояние от любой точки второй прямой до построенной плоскости будет искомым. Расстояние между скрещивающимся прямыми

Если одна из двух данных прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью. Расстояние между скрещивающимся прямыми

Задача 1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 с высотой Н и стороной основания а, найти расстояние между прямыми АА 1 и ЕD 1. Расстояние между скрещивающимся прямыми

З а д а ч а 2. В основании прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 лежит правильный треугольник со стороной а. Боковое ребро призмы равно 2 а. Точка Р - середина ребра ВВ 1, R - середина СС 1. Найдите расстояние между прямыми AR и СР. Расстояние между скрещивающимся прямыми

Задача 3. Основание прямого параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат со стороной а, боковое ребро равно b. Найти расстояние между прямыми АВ 1 и ВD.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Задача 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 с высотой h и стороной основания а, найти угол между прямыми АА 1 и ЕD 1. Угол между скрещивающимся прямыми Поэтапно-вычислительный метод

Задача 5. В правильной шестиугольной призме АBCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ 1 и СD 1. Угол между скрещивающимся прямыми Поэтапно-вычислительный метод

Задача 6. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АС 1 и В 1 С. Угол между скрещивающимся прямыми Поэтапно-вычислительный метод

Координатно-векторный метод вычисления углов между скрещивающимися прямыми При нахождении угла φ между прямыми а и b используют формулу или в координатной форме:, где и - векторы, параллельные прямым а и b. В частности, если прямые а и b перпендикулярны, то и

Задача 7. В единичном кубе АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, расположенные на ребрах CD и C 1 D 1 так, что Угол между скрещивающимся прямыми координатно-векторный метод

Задача 8. В правильной шестиугольной призме АBCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1,все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АВ 1 и ВЕ 1. Угол между скрещивающимся прямыми

Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми на основе метода ортогонального проектирования. Расстояние между скрещивающимися прямыми от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту плоскость. Угол между второй прямой и указанной ей проекцией дополняет до 90° угол между данными скрещивающимися прямыми.

Если ортогональная проекция на плоскость переводит прямую a в точку A, а прямую b в прямую b, то расстояние AB между прямыми a и b равно расстоянию AB от точки A до прямой B.

Ортогональное проектирование – это проектирование вдоль прямой, перпендикулярной плоскости проекции. Свойства ортогонального проектирования: 1. Проекцией фигуры, лежащей на плоскости проекции, является сама эта фигура. 2. Проекцией прямой (отрезка) является прямая (отрезок). 3. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций. 4. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Sпр = Scosφ.

Задача 9. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

Задача 10. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а. Точка К - середина ВС. Найдите расстояние между прямыми АС и С 1 К.

Задача 11. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней куба с ребром 1.

Задача 12. В основании пирамиды SАВС лежит равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая – через точку С и середину ребра АВ.

Задача 13. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1.

Задача 14. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AD.

Задача 15. В пирамиде DABC известны длины ребер DB= 8, AC = 24, АВ = ВС = DA = DC = 13. Найдите расстояние между прямыми DB и АС.

Задача 16. К диагонали А 1 С куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 провели перпендикуляры из вершин А и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Задача 17. К диагонали А 1 С куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 провели перпендикуляры из середин ребер АВ и АD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1.

Ответ:. Решение. Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G. Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1.

Ответ:. Решение. Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1. Его длина.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1.

Ответ:. Решение. Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1. Расстояние между ними равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1.

Ответ:. Решение. Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC. Его длина равна.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DE 1.

Ответ:. Решение. Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 E 1. Его длина равна.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BD 1. Решение. Искомым общим перпендикуляром является отрезок AB. Его длина равна 1. Ответ: 1.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1.

Ответ:. Решение. Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1. Оно равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BE 1.

Ответ:. Решение. Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью BEE 1. Оно равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CF 1.

Ответ:. Решение. Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CFF 1. Оно равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и DE 1. Ответ:. Решение. Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ABB 1 и DEE 1. Расстояние между ними равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и CF 1.

Ответ: Решение. Искомым расстоянием является расстояние между прямой AB 1 и плоскостью CFF 1. Оно равно.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и BC 1.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BC 1. Решение. Пусть O, O 1 –центры граней призмы. Плоскости AB 1 O 1 и BC 1 O параллельны. Плоскость ACC 1 A 1 перпендикулярна этим плоскостям. Искомое расстояние d равно расстоянию между прямыми AG 1 и GC 1. В параллелограмме AGC 1 G 1 имеем AG = ; AG 1 =. Высота, проведенная к стороне AA 1 равна 1. Следовательно, d =. Ответ:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BD 1.

Решение. Рассмотрим плоскость A 1 B 1 HG, перпендикулярную BD 1. Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую BD 1 в точку H, а прямую AB 1 – в прямую GB 1. Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию от точки H до прямой GB 1. В прямоугольном треугольнике GHB 1 имеем GH = 1; B 1 H =.Следовательно, d =. Ответ:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BE 1.

Решение. Рассмотрим плоскость A 1 BDE 1, перпендикулярную AB 1. Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую AB 1 в точку G, а прямую BE 1 оставляет на месте. Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию GH от точки G до прямой BE 1. В прямоугольном треугольнике A 1 BE 1 имеем A 1 B = ; A 1 E 1 =. Следовательно, d =. Ответ: