Теорема Лаграножа Жозеф Луи Лагранож (1736 – 1813) Размещено на

Я сделал своё дело... Я никогда, никого не ненавидел, и не делал никому зла. ( Жозе́ф Луи́ Лагра́нож )

Жозе́ф Луи́ Лагра́нож (фр. Joseph Louis Lagrange итал. Giuseppe Lodovico Lagrangia) 25 января 1736 – 10 апреля

Жозеф Луи Лагранож (1736 – 1813) Известный французский математик и механик. Работы Лаграножа по математике, астрономии и механике составляют 14 томов. Ему удалось успешно разработать многие важные вопросы математического анализа. Лагранож дал очень удобную для практики формулу выражения остаточного члена ряда Тейлора, формулу конечных приращений и интерполяционную формулу, ввел метод множителей для решения задачи по нахождению условных экстремумов.

Автор трудов по вариационному исчислению, где им разработаны основные понятия и методы, математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям. В трактате «Аналитическая механика» (1788) в основу статики положил принцип возможных перемещений, в основу динамики сочетание этого принципа с принципом Д'Аламбера (принцип Д'Аламбера Лаграножа), придал уравнениям движения формулу, названную его именем. Уравнение Лаграножа используется в гидродинамике и общей механике.

Вклад Лагранож в области наук В алгебре он разработал теорию, обобщением которой является теория Галуа, нашел метод приближенного вычисления корней алгебраического уравнения при помощи непрерывных дробей, метод разделения корней алгебраического уравнения, метод исключения переменной из системы уравнений, разложение корней уравнения в так называемый ряд Лаграножа. В теории чисел с помощью неправильных дробей решил неопределенные уравнения второй степени с двумя неизвестными, развил теорию квадратичных форм.

Вклад Лагранож в области наук В области дифференциальных уравнений Лагранож разработал теорию особых решений и метод вариации произвольных констант при решении линейных дифференциальных уравнений. Исходя из основных законов динамики, он указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, которые теперь известны как уравнения Лаграножа первого рода, и вывел уравнения в обобщенных координатах – уравнения Лаграножа второго рода.

Формула конечных приращений Лаграножа формула дифференциального исчисления; дает связь между приращением функции f( х) и значениями ее производной: f( b)-f( a)=( b- a)f'( c)

Вклад Лагранож в области наук Лагранож внес существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лаграножа), алгебру и теорию вероятностей. В двух своих важных трудах – Теория аналитических функций (Th orie des fonctions analytiques, 1797) и О решении численных уравнений (De la r solution des quations num riques, 1798) – подытожил все, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы были развиты в работах математиков 19 в.

РАЗВИТИЕ МЕХАНИКИ В XVIII ВЕКЕ К концу XVII в. основы механики были обстоятельно разработаны. Если древние века считать предысторией механики, то XVII в. можно рассматривать как период создания ее основ. Развитие методов механики в XVIII в.. В XVIII в. потребности производства – необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой, - привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в Аналитической механике (1788 г.) Ж. Лаграножа.

Итоги развития механики в XVIII веке "Аналитическая механика" Лаграножа подвела итог достижениям теоретической механики XVIII в. и определила следующие главные направления ее развития: 1) расширение понятия связей и обобщение основных уравнений динамики несвободной системы для новых видов связей; 2) формулировка вариационных принципов динамики и принципа сохранения механической энергии; 3) разработка методов интегрирования уравнений динамики.

Итоги развития механики в XVIII веке Одной из важнейших проблем механики является задача об устойчивости равновесия и движения материальных систем. Первая общая теорема об устойчивости равновесия системы, находящейся под действием обобщенных сил, принадлежит Лаграножу и изложена в Аналитической механике. Согласно этой теореме, достаточным условием равновесия является наличие в положении равновесия минимума потенциальной энергии. Метод малых колебаний, примененный Лаграножем для доказательства теоремы об устойчивости равновесия, оказался плодотворным для исследования устойчивости установившихся движений.

Итоги развития механики в XVIII веке В Трактате об устойчивости заданного состояния движения английского ученого Э. Рауса, опубликованном в 1877 г., исследование устойчивости методом малых колебаний было сведено к рассмотрению распределения корней некоторого характеристического уравнения и указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти корни имеют отрицательные вещественные части.

Теорема Лаграножа Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка, что (1)

Доказательство теоремы Лаграножа Рассмотрим вспомогательную функцию Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке, а на его концах принимает одинаковые значения: Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка, в которой производная функции равна нулю:

Теорема Лаграножа - Следствие 1. В частном случае, когда, из теоремы Лаграножа вытекает, что существует точка, в которой производная функции равна нулю:. Это означает, что теорема Лаграножа является обобщением теоремы Ролля.

Теорема Лаграножа - Следствие 2. Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка, то в этом промежутке. Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и. Применяя теорему Лаграножа к промежутку, получим Однако во всех точках промежутка. Тогда Учитывая произвольность точек и, получаем требуемое утверждение.

Геометрическая интерпретация теоремы Лаграножа Разностное отношение в правой части формулы (1) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и, а производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в некоторой средней точке промежутка. Поэтому за теоремой Лаграножа закрепилось название теорема о среднем. Теорема Лаграножа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.

Физическая интерпретацию теоремы Лаграножа Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени, а производная – мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости. Отметим, что формула (1) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лаграножа к промежутку и представить значение c в виде где то формула (1) примет вид (2) Равенство (2) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ.

Спасибо за внимание! Размещено на