Векторы Вектор - направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец.

Оглавление Понятие вектора Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сумма двух векторов Законы сложения. Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов

Цели: Научиться правильно строить векторы; Развить творчество; Задачи: Узнать всю теорию о векторах;

Понятие вектора Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторами. В А

Определение: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. А В АВ - вектор А-начало вектора В-конец вектора

Определение: Коллинеарные векторы – векторы, которые лежат на параллельных прямых. Определение: Нулевым называется вектор, начало и конец которого совпадают. Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина нулевого вектора считается равной нулю. Нулевой вектор считается коллинеарныйм любому вектору. ОО – нулевой вектор а b

Задача Начертить два неколлинеарныйх вектора а и b. а b

Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b, если a b и |a|=|b| а=b Векторы называются сонаправленными, если у них одинаковое направление. а b

Задача Построить два равных вектора x и y. x y

Откладывание вектора от данной точки От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Ма Замечание: Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. А а N

Сумма двух векторов Пусть a и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим ВС, равный b.Вектор АС называется суммой векторов а и b. А В С а b а b Это правило Сложения Векторов называется правилом треугольника.

Задача Построить сумму векторов а+b а b а b а+b

Законы сложения. Правило параллелограмма Теорема: Для любых векторов а, b, c справедливы равенства: 1*. a + b = b + a (переместительный закон). 2*. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон). Доказательство: 1*. Рассмотрим случай, когда векторы а и b не коллинеарныйе. От произвольной точки А отложим векторы АВ=а и АD=b и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС=АВ+ВС=а+b. Аналогично АС=АD+DC=b+a. Отсюда следует, что a+b=b+a. b А ВС D b a a + ba + b a

Задача Построить правило параллелограмма a+b=b+a. a a a b b b

Сумма нескольких векторов. Правило многоугольника А В С D E F G a b с d р f р=a+b+c+d+e+f e b с d e f a

Задача Построить правило многоугольника a+b+c+d+e a a b b c c d d e e e

Вычитание векторов Разность векторов a и b – вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема: Для любых векторов а и b справедливо равенство a – b = a + ( - b ). Задача: Даны векторы a и b. Построить вектор a - b a a b b a - ba - b А В О

Задача Начертить вычитание векторов a-b a b a b a-b

Умножение векторов на число Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|*|a|, причем векторы а и b сонаправлены при k>;=0 противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарный. Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1*. (kl)a=k(la) (сочетательный закон). 2*. (k+l)=ka+la (первый распределительный закон). 3*. K(a+b)=ka+kb (второй распределительный закон).

Задача Выполнить умножение: 3 а-2b а b 3 а -2b

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов a и b обозначается так: a*b или a b. По определению a b=|a| * |b| cos (a b).

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Скалярное произведение a*a называется скалярным квадратом вектора a и обозначается a^2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

История о векторах Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831 г.). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон, как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым, обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903 г.) придал векторному анализу современный вид.

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)