Б.И. Вольфсон, Л.И. Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ И ГИА-9: учимся решать задачи. Ростов-на-Дону: Легион-М, с. В книге излагается технология, позволяющая структурировать и тем самым облегчить процесс решения геометрических задач, приводятся примеры ее применения, проанализированы задания ЕГЭ и ГИА-9. Имеется справочный теоретический материал и задачи для самостоятельного решения.

Этот подход позволяет структурировать решение задачи и последовательно преодолеть возникающие трудности по аналогии с поэтапной сборкой сложного изделия на конвейере. 1. ОСВОЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЗАМЕЧАНИЕ. Знание, а главное, понимание алгоритмов решения стандартных задач не отменяет самостоятельное творчество. Оно экономит время и дает инструмент, который позволяет осуществлять творческий процесс на качественно более высоком уровне.

2. Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М. Эрдниева. Применение разработанного П. М. Эрдниевым метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ) базируется на одновременном рассмотрении логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Такой подход позволяет сформировать «стереоскопический» образ изучаемого объекта. Он стимулирует образование в мозгу функциональных систем, т.е. ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных познавательных задач. Отказ при использовании УДЕ от традиционного «квантования» учебного материала способствует тому, что его запоминание приобретает не механический (эрудиционный), а ассоциативный характер. Таким образом, наряду с накоплением знаний (накоплением информации) идет процесс обогащения мышления связями между знаниями, то есть повышается качество переработки информации.

3. Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач. Данная методика предусматривает создание модифицируемых многопараметрических заданий по математике, в которых осуществляется циклическая замена известных и неизвестных величин. Методика ориентирована на формирование целостного мировосприятия и интеллектуальное развитие школьников. Предложенный подход к формированию модифицируемых учебных заданий лежит в русле метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ). Вслед за создателем метода УДЕ П. М. Эрдниевым мы обращаем внимание на необходимость рассмотрения всего блока заданий, относящихся к данной проблеме, в компактном временном промежутке. В этом случае многообразные связи, возникающие в мозгу ученика в процессе работы, закрепляются в виде единой комплексной системы.

4. Проблемный подход к организации повторения курса геометрии. Использование проблемного метода приводит ученика от пассивного потребления готовых истин, излагаемых учителем, к участию в их установлении. Это способствует лучшему запоминанию и, что особенно важно, формированию личностно-ценностного отношения к изучаемому материалу. Подумаешь, Америку открыл! Еще в пеленках это мы знавали!… А я один, как клад, ее отрыл И позабыть уже смогу едва ли. Как я добыл ее! Я смертный пот Стирал ладонью. Рот был сух от жажды. Я рыл и рыл… Владеет ею тот, Кто сам, один, добыл ее однажды. Она во мне. Я жил, ее тая. Я, стиснув зубы, в муках, на пределе Ее добыл. Вот истина моя!.. Вы ж до сих пор банальностью владели. Евгений Винокуров.

5. Последовательное применение принципа «чайника». Этот принцип состоит в сведении данной задачи к той, решать которую мы уже научились.

B A C D Е F

Найти: 1) площадь S; 2) h b высоту BD; 3) радиус вписанной окружности r; 4) величину наибольшего внутреннего угла треугольника АВС; 5) радиус описанной окружности R; 6) m b длину медианы BF; 7) L b длину биссектрисы ВЕ угла В (точка Е лежит на отрезке АС); 8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности (О о ); 9) расстояние между центрами вписанной (О в ) и описанной (О о ) окружностей. Дано: В треугольнике АВС АВ=с=13 см; ВС=а=14 см; АС=b=15 см. А С 15 В D E F

B А D C

B А C

c m a А b F C B

B А F c m b/2

A a K c b m c F m B a C

А E C B

В c L a А х Е b-x С

у В c a h m G R O о А D F b C x

у В c h m a G R O о А D F b C x

у В c a G O о А D F b C x

у В c a G O о А D F b C x

у В c a O в r A/2 А Н b C x

у В c a O в r A/2 А Н b C x

М B N L A K C

Найти: 1) Площадь основания S осн. ; 2) высоту основания h; 3) радиус окружности, вписанной в основание r в ; 4) радиус окружности, описанной около основание r о ; 5) апофему h 1 ; 6) площадь боковой поверхности S бок. ; 7) плоский угол при вершине пирамиды α; 8) радиус окружности, вписанной в боковую грань r в 1 ; 9) радиус окружности, описанной около боковой грани r о 1 ; 10) угол между боковым ребром и плоскостью основания φ; 11) угол между боковой гранью и плоскостью основания ψ; 12) угол между боковыми гранями ω; 13) радиус сферы, описанной около пирамиды R о ; 14) радиус сферы, вписанной в пирамиду R в ; 15) расстояние d 1 от центра основания до боковой грани; 16) угол и расстояние d 2 между боковым ребром и скрещивающейся с ним стороной основания пирамиды. М B N L A K C Дано: МАВС правильная пирамида; АВ=ВС=СА=а; MN высота пирамиды; MN=H.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник (в рассматриваемой задаче, треугольник), а вершина пирамиды проецируется в центр основания. В правильной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. В правильной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. В правильном треугольнике все стороны равны, углы равны 60 0, а каждая из его медиан является одновременно высотой, биссектрисой и лежит на серединном перпендикуляре к стороне треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Центром правильного треугольника называется точка пересечения его медиан, которая совпадает с центром вписанной и описанной окружностей.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого многоугольника. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен к касательной, проходящей через эту точку. Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; причем в качестве коэффициента пропорциональности выступает удвоенный радиус окружности, описанной около этого треугольника (теорема синусов). Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в этот треугольник окружности: S Δ =p r в ; здесь p=(a+b+c)/2 полупериметр треугольника. Медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является также его высотой и биссектрисой. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Двугранным углом называется угол, образованный двумя полу плоскостями (гранями), имеющими общую границу (ребро двугранного угла). Двугранный угол измеряется его линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол, вершина которого лежит на ребре, а стороны принадлежат граням двугранного угла и перпендикулярны к его ребру. Плоским углом при вершине пирамиды называется угол, образованный боковыми ребрами, принадлежащими одной грани пирамиды.

М М B A C Дано: Дано: В правильный тетраэдр МАBC вложены 4 шара радиуса R так, что каждый из них касается трех граней тетраэдра и трех других шаров. Найти: Найти: Объем тетраэдра.

О 4 О 2 Q О 1 P О 3 Обозначим центры шаров О 1, О 2, О 3, О 4. Так как шары касаются друг друга, то эти точки могут рассматриваться как вершины правильного тетраэдра, ребра которого равны 2R. Опустим из точек О 1, О 2, О 3 перпендикуляры О 1 О 1 /, О 2 О 2 /,О 3 О 3 / на плоскость АВС, которой касаются соответствующие шары. Очевидно, длины этих перпендикуляров равны R. Центр четвертого шара О 4 лежит на прямой, содержащей высоту тетраэдра МN. Обозначим буквой Q основание высоты тетраэдра О 1 О 2 О 3 О 4, опущенной из вершины О 4 на основание О 1 О 2 О 3. Очевидно, QN также равняется R. M О 2 / N О 1 / О 3 /