Комбинации тел Миргалиев Антон 11ИТ

Теоремы Теорема. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар. Теорема. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний. Теорема. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. Теорема. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.

Шар и цилиндр Перед решением задач на комбинацию сферы и цилиндра следует повторить планиметрический материал о комбинациях окружности и прямоугольника (квадрата), о комбинациях двух касающихся, пересекающихся и не имеющих общих точек окружностей. Учащимся необходимо знать, что в цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, так как диаметр сферы, вписанной в цилиндр, равен высоте (образующей) этого цилиндра.

Шар и цилиндр При решении задач на комбинацию сферы (шара) и цилиндра совершенно не обязательно изображать сферу и цилиндр, а достаточно рассмотреть сечение этой комбинации пространственных фигур плоскостью. Во многих случаях решение задачи упрощается, если использовать сечения сферы (шара) и цилиндра диаметральной плоскостью сферы (шара), содержащей ось цилиндра (параллельной этой оси), или диаметральной плоскостью сферы (шара), перпендикулярной оси цилиндра.

Задача Одна из образующих цилиндра расположена на диаметре шара, а две другие являются хордами этого шара. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, если расстояние между каждой из пар этих образующих равно 6, а радиус шара равен 10. Определите, весь ли цилиндр находится внутри шара?

Задача На рисунке изображено сечение шара (круг ω) и цилиндра (круг ω 1 ) плоскостью, проходящей через центр O шара перпендикулярно образующим цилиндра (эта плоскость делит все образующие цилиндра пополам), при этом точка O середина образующей цилиндра, расположенной на диаметре шара, а точки A и B середины образующих цилиндра, являющихся данными хордами шара.

Задача Расстояние между образующими каждой из этих пар равно 6, поэтому равносторонний треугольник OAB со стороной 6 вписан в круг ω 1 с центром O 1, равный основанию цилиндра и имеющий радиус А так как радиус шара равен 10, то круг ω 1 лежит внутри круга ω с центром O диаметрального сечения шара. Это означает, что прямая, содержащая образующую цилиндра, проходящую через точку C, диаметрально противоположную точке O (второй рисунок), пересекает поверхность шара в некоторых точках M и K, симметричных относительно диаметральной плоскости OAB. Пусть точка A середина образующей PH цилиндра, являющейся данной хордой шара. Тогда OP = OH = 10 (как радиусы шара), и в прямоугольном треугольнике OAP находим значит, длина образующей цилиндра равна: PH = 2AP = 16.

Задача Найдем длину хорды MK шара, которая лежит на образующей ET цилиндра, содержащей точку C и удаленной от центра шара на расстояние Для этого рассмотрим сечение данной комбинации тел диаметральной плоскостью шара, проходящей через ось Q 1 Q цилиндра. На рисунке 9 изображены: сечение шара круг с центром O и радиусом OM = 10; сечение цилиндра прямоугольник ELDT. В прямоугольном треугольнике OCM находим: поэтому Так как 16 2 > 1613, то PH > MK. Значит, образующая ET цилиндра больше хорды MK шара, которая лежит на этой образующей. Это говорит о том, что концы E и T образующей ET цилиндра, а значит и некоторые две его части, симметричные относительно проведенной диаметральной плоскости AOB, находятся вне шара. Ответ: нет, часть цилиндра расположена вне шара.

Шар и конус Перед решением задач на комбинацию сферы и конуса следует повторить планиметрический материал о комбинациях окружности и равнобедренного треугольника. Во многих случаях решение задачи упрощается, если использовать сечения комбинации сферы и конуса диаметральной плоскостью сферы, содержащей ось конуса. В результате решение данной стереометрической задачи сводится к решению задачи планиметрической на комбинацию окружности и равнобедренного треугольника.

Шар и конус В конус помещены две сферы. Одна из этих сфер вписана в конус, а вторая касается первой сферы и конической поверхности, имея с ней общую окружность. Найдите отношение радиусов первой и второй сфер, если образующая конуса в три раза больше радиуса его основания.

Шар и конус Решение. Рассмотрим сечение комбинации данных конуса и двух сфер плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечением конуса является равнобедренный треугольник ABC (AB = BC, BO AC), в котором OA = R (R радиус основания конуса); сечением сферы, вписанной в конус, окружность ω с центром O 1, вписанная в треугольник ABC и касающаяся его сторон в точках K, Q и O (KQ || AC); сечением второй сферы окружность ω 1, касающаяся окружности ω в точке P и боковых сторон треугольника ABC в точках M и L (P точка касания сфер, ML диаметр окружности касания этой сферы с боковой поверхностью конуса). Обозначим: O 1 K = R 1 радиус окружности ω (радиус первой сферы), O 1 K AB; DM = r радиус окружности ω 1 (радиус второй сферы), DM AB. Проведем: KE AC; HF AC; PH || AC (PH общая касательная окружностей ω и ω 1 ).

Шар и конус Из условия следует: AB = 3R. Имеем: AK = AO = R (как отрезки касательных к окружности ω), значит, AK : AB = R : 3 R = 1 : 3. Так как BO AC,KE AC, то KE|| BO. По теореме Фалеса получим: AE: AO = AK : AB = 1 : 3, откуда Тогда в прямоугольном треугольнике AKE Кроме того, Так как KQ || AC, BO AC, то KQ BO. Далее, O 1 K AB (как радиус, проведенный в точку касания). Значит, AKE = O 1 KT (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Тогда прямоугольные треугольники AKE и O 1 KT подобны, поэтому AK : O 1 K = KE : KT, откуда значит, Найдем иначе длину OP = HF. Пусть KH = m. Имеем: HK = HP, а HP = HM (как отрезки касательных к окружностям ω и ω 1 ), отсюда KM = 2m, AH = R + m. Тогда из подобия прямоугольных треугольников AKE и AHF получаем: AK : AH = KE : HF

Шар и конус Из равенства находим: 2m = R m = 0,5R. Значит, KM = 2m = 20,5R = R. Поэтому BM = BK – KM = 2R – R = R. Тогда из подобия прямоугольных треугольников BO 1 K и BDM имеем: R 1 : r = O 1 K : DM = BK : BM = 2R : R = 2 : 1. Ответ: 2 : 1.

Шар и усеченный конус Решение задачи на комбинацию шара и усеченного конуса упрощается, если использовать сечение комбинации шара и усеченного конуса диаметральной плоскостью шара, содержащей ось конуса. В таком случае решение данной стереометрической задачи сводится к решению планиметрической задачи на комбинацию круга и равнобедренной трапеции.

Задача Радиус сферы, вписанной в усеченный конус, равен r, радиус сферы, описанной около этого усеченного конуса, равен Найдите угол между образующей усеченного конуса и его основанием.

Задача Пусть HC высота усеченного конуса (высота трапеции) и α угол наклона его образующей MH к плоскости нижнего основания (угол при вершине нижнего основания трапеции). Выразим дважды длину диагонали HK через r и a. С одной стороны, в треугольнике MKH имеем: С другой стороны, в треугольнике HCK ( HCK =90°) по теореме Пифагора находим: HK 2 = CK 2 + CH 2 Выразим CH и CK через r и α. Трапеция MHPK описана около окружности с центром A и радиусом r, поэтому HC = 2r и HP + MK = 2MH (суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны), откуда Кроме того, трапеция MHPK равнобедренная, значит, Следовательно, CK = MH.

Задача В прямоугольном треугольнике MCH находим: тогда Подставив в HK 2 = CK 2 + CH 2 вместо HK, CK и CH их выражения через r и α, получаем: (sin α 0, так как α 0). Сделав подстановку sin 2 α = t (0 < t < 1), получаем: 30t 2 – t – 1 = 0. Дальнейшее решение задачи осуществляется учениками.

Задача на комбинацию с кубом, призмой, тетраэдром Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.

Задача