Построения сечений многогранников Данный ресурс предназначен для изучения или обобщения темы «Построение сечений многогранников»

Навигация ресурса Теория Построение сечений Построение сечений Задачи Литература

Теория Решение большинства стереометрических задач сводится в конечном счете к решению ряда планиметрических задач, при этом «расчленение» каждой пространственной задачи на последовательность плоских задач чаще всего связано с построением различного вида сечений рассматриваемой пространственной фигуры. Сечением пространственного тела называется фигура, получающаяся в пересечении тела с плоскостью. Построить сечение – это значит указать линии пересечения секущей плоскости с гранями рассматриваемого многогранника, в том числе точки ее пересечения с ребрами многогранника. Для построения сечений используются следующие правила: Через три точки фигуры, не лежащие на одной прямой, можно провести единственное сечение; Если две какие-либо точки принадлежат сечению, то принадлежит сечению и прямая, проходящая через эти точки. В том числе, когда точки лежат на одной из граней многогранника, эта прямая является линией пересечения грани с сечением; Параллельные грани многогранника (или вообще параллельные плоскости) пересекаются сечением по параллельным прямым.

Вот некоторые соображения, которыми пользуются при построении сечений многогранников: Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны – с его гранями. (Теорема)Теорема Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной. С1: Для построения сечения нужно найти прямые, по которым плоскость сечения пересекается с плоскостями граней многогранника. С2: Для построения прямой пересечения плоскостей, как правило. Находят две ее точки, через них и проводят прямую пересечения. С3: Точки прямой пересечения (из С2) отыскиваются как точи пересечения известной прямой, лежащей в одной плоскости, со второй плоскостью. С4: Для построение такой точки пересечения (из С3) данных прямой и плоскости в этой плоскости находят прямую, пересекающую данную, - точка получается а пересечении этих прямых (на проекционном чертеже). При построении сечений многогранников, как правило, выполняют дополнительные построения. Весьма часто эти построения связаны с продолжением линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника за пределы этой грани. Рекомендуется сохранять эти построения, поскольку они используются для обоснования чертежа, и для последующих расчетов.

Теорема Т: Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника пересекает его по выпуклому многоугольник. Пусть плоскость α проходит через внутреннюю точку Х выпуклого многогранника Р. Тогда фигура Q=Рα выпукла и содержит внутренние точки (Х – внутренняя точка фигуры Q в плоскости α). Кроме того, граница фигуры Q есть пересечение плоскости α с границей многогранника Р и поэтому состоит из конечного числа отрезков. Значит, Q – выпуклый многоугольник.

Построение сечений Сечение четырехугольной призмы Сечение шестиугольной призмы Сечение пирамиды Сечение куба Сечение призмы

Построения сечения четырехугольной призмы Рассмотрим задачу: В правильной четырехугольной призме построить сечение через середины двух смежных сторон основания, пересекающее три боковых ребра. Построение

Кроме середин М и К сторон АВ и ВС основания призмы, зададим точку Е на ребре DD1. Построим плоскость сечения МКЕ. Е Найдем прямую пересечения плоскости МКЕ с плоскостью грани АDD1A1. Для этого найдем точку пересечения прямой АD, лежащей в плоскости АDD1A1, с плоскостью МКЕ. Проводим прямую МК. Н Затем продолжим прямую АD до пересечения с прямой МК. Н – точка пересечения этих прямых. Проводим прямую ЕН, Х - точка пересечения АЕ и АА1. Х Аналогично строится точка Y – точка пересечения ЕN и МК. N Y Искомое сечение МХЕYК

Сечение куба через три точки

Сечение пирамиды плоскостью АВС

Сечение тетраэдра через точку М на высоте А1А, параллельно грани ACD. Сечение пирамиды через точки С и D, параллельно ребру АВ.

Сечение пирамиды

Сечение призмы

Построение сечения шестиугольной призмы Рассмотрим задачу: В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани – квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Построение

Затем от точки О по обе стороны построим отрезки, равные и параллельные АВ, - их вторые (отличные от О) концы и дают вершины С и Н шестиугольника. Эти построения основаны на свойствах параллельного проектирования). Точка Х - точка пересечения прямых DF и D 1 F. Построив проекцию основания, через его вершины в одном направлении – вверх вертикально – проведем равные и параллельные друг другу отрезки – проекции боковых ребер. Соединяя последовательно вторые концы этих отрезков, получим проекцию второго основания призмы (A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 H 1 ). Построение чертежа призмы начинают с построения проекции ее основания ABCDEH. Начнем с построения произвольного параллелограмма АВDE и его центра О (как точки пересечения диагоналей). Построение Сечение проходит через параллельные прямые АВ и E 1 D 1. Ребра АВ и Е 1 D 1 являются сторонами многоугольника в сечении. Найдем точку Х на прямой СС 1. Точка F является точкой пересечения прямых АВ и СD. Точка Y строится аналогично – это точка пересечения прямых ER и E 1 R. о F Х R Y Искомое сечение – ABXD 1 E 1 Y

Задачи 1. Площадь треугольника АВС равна 2. Чему равна площадь сечения пирамиды АВСД плоскостью, проходящей через середины ребер АД, ВД, СД? Ответ: ½ 2. Изобразите пирамиду АВСД, отметьте на ребрах АВ, СВ и ДВ точки К, L, М соответственно. Постройте: а) прямую, по которой пересекаются плоскости СДК и МLА, б) точку пересечения плоскостей АСМ, СДК и АДL, в) точку пересечения плоскостей АМL, СКМ и ДКL. 3. Изобразите пирамиду ABCD, отметьте на ее ребрах AB, BC, CD, DA, BD и AC точки K, L, M, P, N и Q соответственно. Постройте: а)прямую, по которой пересекаются плоскости KLM и PNQ, б)точку пересечения плоскостей ALM, CNP и DKQ. 4. Изобразите пирамиду АВСД, отметьте на ребре АВ точку К. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной ВС и АД. 5. Изобразите треугольную пирамиду, отметьте в плоскости трех ее граней по точке и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через эти три точки. 3. В треугольной пирамиде проведена плоскость сечения, параллельная основанию и делящая площадь ее боковой поверхности пополам. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? Ответ: 1:(22 – 1) 4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На ребрах SA и SC взяты точки P и Q, соответственно, причем AP:PS=1:3, CQ=SQ. Найти отношение, в котором делится ребро SB плоскостью, проведенной через точки D,P и Q. Ответ: 3:4. 5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки A, B и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? Ответ: 3:5.

Использованная литература: Лурье М.В. – Геометрия. Техника решения задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, Вавилов В. – Сечения многогранников. – Квант 1, Шарыгин И.Ф. – Геометрия М.: Дрофа, Земляков А.Н. – Геометрия в 11 классе. – М.: Просвещение, 1991.