Равенство вида f(x)=g(x), где f(x), g(x)-некоторые функции, называют уравнением с одной переменной. Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение- значит найти все корни уравнения или доказать, что корней нет. Областью допустимых значений уравнения называют числовое множество, на котором определены обе функции f(x), g(x) Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни, принадлежащие данному множеству. Данное уравнение является следствием другого уравнения, если каждый корень другого уравнения является корнем данного.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, определенное на ОДЗ исходного уравнения, то получим уравнение равносильное данному. Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю выражение, определенное на ОДЗ исходного уравнения, то получим уравнение равносильное данному. Теорема 3. Если обе части уравнения разделить на одно и то же не равное нулю выражение, определенное на ОДЗ исходного уравнения, то получим уравнение равносильное данному.

Разложение на множители «Избавление» от знаменателя Замена переменной в уравнении

Уравнения вида называют биквадратными уравнениями. Способ решения биквадратных уравнений - замена

Уравнения вида где коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями. 1) Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х=-1. 2) Уравнение четной степени 2n с помощью подстановки сводится к уравнению степени n.

Уравнения вида Называют возвратными уравнениями нечетной степени, если Где - некоторое действительное число Уравнения вида Называют возвратными уравнениями четной степени, если Где - некоторое действительное число Свойства возвратных уравнений: 1)Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень х =- 2)Уравнение четной степени сводится к уравнению степени n с помощью подстановки

Уравнения вида называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x) Способ решения однородных уравнений Поделив обе части однородного уравнения на Можно с помощью замены получить уравнение Случай v(x)=0 нужно рассмотреть отдельно.

1. Равносильны ли уравнения? 2. Какое из уравнений, является следствием другого? 3. Решите уравнение методом разложения на множители 4. Решите уравнение методом замены переменных А) б) А) г) (х-2)(х-3)(х-4)=6 А) Б) В)

1. а) нет; б) да; 2. а) Первое; 3. а)1;2;3; 4. а) 1;2; б) в) г)5.

Замена переменной Метод подстановки Способ сложения Сведение к квадратному уравнению

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень Замена переменных Методы решения иррациональных неравенств

Методы решения уравнений и неравенств с модулем Разбор случаев. Метод интервалов Метод замены множителей

Применение свойств квадратного трехчлена Использование свойств функций Геометрические интерпретации

Решите уравнение в зависимости от параметра а

Решение. Чтобы выяснить сколько корней имеет уравнение, построим график функции Количество корней можно усмотреть на рисунке, проводя прямые, соответствующие а. Получим: 1)если а < 0, то корней нет; 2)если а = 0 и а > 4, то два корня. Найдем эти корни. При а = 0 получим, и = -1, = 3; при а > 4 это корни уравнения Если 0 < а< 4 все четыре корня подходят. Если а = 4 три корня: Ответ: 1) если а < 0, то корней нет; 2) если а = 0, то х 1 = -1, х 2 = 3; 3) если 0 < а < 4, то х = 1 ± ; 4) если а = 4, то х =1, х = 1 ± ; 5) если а > 4, то х =