Метод интервалов Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Задача 1. Выяснить, при каких значениях х значения трёхчлена х² 3 х 4 положительные, а при каких отрицательные. х 14 ׀׀ ||||||||||||||||||||| /////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Решение. х 1 = 1, х 2 = 4 корни уравнения х² 3 х 4 = 0, тогда х²3 х 4 = (х + 1)(х 4). Точки х = 1, х = 4 разбивают числовую прямую на промежутки, где x

Промежутки x 4, так же как и промежуток 1 < x < 4, называют интервалами Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, выясним знаки трёхчлена x² 3x 4 = (x + 1)(x 4): х ׀׀ Итак, квадратный трёхчлен x² 3x 4 принимает положительные значения при всех x 4, а при 1 < x < 4 принимает отрицательные значения

Таким образом, задачу о знаке квадратного трёхчлена x² – 3x – 4 можно решить следующим способом. Отмечаем на числовой оси корни уравнения х ² 3 х 4 = 0 числа 1 и 4 Они разбивают числовую ось на три интервала. Расставляем знаки квадратного трёхчлена, двигаясь вдоль числовой оси справа налево

Рассмотренный способ называют методом интервалов. Этот метод используется при решении квадратных и некоторых других неравенств. Например, решая предыдущую задачу: «Выяснить, при каких значениях х значения трёхчлена х² 3 х 4 положительные, а при каких отрицательные», мы практически решили методом интервалов неравенства x² – 3x – 4 > 0 и x² – 3x – 4 <

х ׀ – 5 ׀ |||||||||||||||||||||| 4) Итак, x² – 25 0 на (; 5] U [5; +.) Ответ : Задача 2. Решить неравенство x² – 25 0 методом интервалов Решение. 1) Задаём функцию f(x) = x² – 25. 2) Находим нули f(x): x² – 25 = 0, (x + 5)(х – 5) = 0, x 1 = 5; x 2 = 5. 3) Расставляем знаки f(x) = (x + 5)(х – 5) на числовой оси: ||||||||||||||||||||| + (; 5] U [5; +)

Решить методом интервалов неравенство Решить методом интервалов неравенство

Решение:1) Задаём функцию ƒ(x) = x x. 2) Находим нули ƒ(x): x 2 + 5x = 0; x (x + 5) = 0; x 1 = 0; x 2 = –5. 3) Расставляем знаки ƒ(x)= x(x + 5) на числовой оси: + - x Ответ: (– ; –5)U (0; + ) 0 (– ; –5)U (0; + ) ////////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 4) Итак, x x > 0 на 676 (1) x 2 +5 x >

676 (4) x² – 3x < 0 Решение. 1) Задаём функцию f(x) = x² – 3x. 2) Находим нули f(x): x² – 3x = 0, x (х – 3) = 0, x 1 = 0; x 2 = 3. 3) Расставляем знаки f(x) = x (х – 3) на числовой оси: х ׀ 0 ׀ ||||||||||||||||||||| 4) x (х – 3) < 0, если 0 < x < 3. Ответ: 0 < x <

4 x³ – х > 0 Решение. 1 ) Задаём функцию f(x) = 4x³ – х. 2) Находим нули f(x): 4x³ – х = 0, х (2x + 1)(2 х – 1) = 0, x 1 = 0; x 2 = –0,5; х 3 =0,5. 3) Расставляем знаки f(x) = х (2x + 1)(2 х – 1) на числовой оси: х – 0,50, ) 4x³ – х > 0 на \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ //////////////////////// (0,5; 0) U (0,5; +) Ответ:(0,5; 0) U (0,5; +)

Решение 1) Задаём функцию ƒ(x)= (x 2 1)(x + 3). 2) Находим нули ƒ(x): (x 2 1)(x +3)=0; (x 1)(x + 1)(x + 3)=0; x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = 3. 3) Расставляем знаки ƒ(x)=(x 1)(x + 1)(x + 3): + - x – 3 + Ответ: (– ; –3)U(–1; 1) 1 (– ; –3) U (–1; 1) \\\\\\\\\\\\\\\\\\ + – 1 4) (x 2 1)(x+3)< 0 на (x 2 1)(x + 3)<0 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Решение. 1) Задаём функцию f(х) = (х – 5)² ( х² – 25) 2) Находим нули f(х): (x – 5)(x – 5)(x – 5)(x + 5) = 0; х 1 = х 2 = х 3 = 5; х 4 = – 5. 3) Определяем знаки : f(x) = (x – 5)(x – 5)(x – 5)(x + 5): –5 5 + x _ + 4 ) (х – 5)² (х² – 25) > 0 на Ответ: (х – 5)²( х² – 25) > 0 (– ; –5) U (5; +) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\/////////////////////// (– ; –5) U (5; +)

Решение. 1) Задаём функцию f (x) = (х – 3)(х 2 – 9) 2) Нули f (x): (x – 3)(x – 3)(x + 3) = 0; x 1 = x 2 = 3; x 3 = –3; 3)Знаки функции f (x)=(x – 3)(x – 3)(x + 3): (х – 3)(х 2 – 9) < 0 х–33 //////////////////// + + – 4) (х – 3)(х² – 9) < 0 на (– ; –3) Ответ: (– ; –3)

(x - 8) (x - 1) (x 2 - 1) 0 Решение.1) Задаём функцию f(x)= (x-8)(x-1)(x-1)(x+1) 2) Находим нули f(x): (x-8) (x-1) (x-1) (x+1) = 0; х 1 = 8; x 2 = x 3 = 1; x 4 = – 1 3) Знаки f(x) = (x – 8) (x – 1) (x – 1) (x + 1) : –1 1 8 х + ////////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ++ 4) (x - 8) (x- 1) (x 2 - 1) 0 на Ответ: (– ; –1] U { 1 } U [8; + )

(х² 3x 4) (x 2 2 х 15) 0 Решение. 1) Задаём функцию f(x)= (х² 3x 4) (x 2 2 х 15). Тогда f(x)= (х + 1)(х 4)(х + 3)(х 5). а) х² 3x 4 = (х + 1)(х 4); б) x 2 2 х 15 = (х + 3)(х 5). 2) Находим нули f(х): (х + 1)(х 4)(х + 3)(х 5) = 0; х 1 = 1; х 2 = 4; х 3 = – 3; х 4 = 5. Разложим каждый из квадратных трёхчленов на множители:

–3–345 х + /////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ++ 4) (х² 3x 4) (x 2 2 х 15) 0 на Ответ: [–3; 1] U [4; 5] 3) Расставляем знаки f(x)= (х + 1)(х 4)(х + 3)(х 5): –1–1 + [–3; 1] U [4; 5]

Решение. 1) Задаём функцию где х 2 0. Разложим квадратный трёхчлен х² 4 х 12 на множители: х² 4x 12 = (х + 2)(х 6). Тогда

) Расставляем знаки 2) Находим нули f(х): х 1 = 2; х 2 = 6; х х–2– \\\\\\\\\\\\\\\\\\ //////////////////////////////// (– ; –2) U (2; 6) Ответ: (– ; –2)U(2; 6)

Задача 3. При каких х имеет смысл выражение Решение. 1) Выражение имеет смысл, если ________________ 0 2) Задаём функцию f (x) = х² + 3x 10. х² + 3x 10 3) Находим нули f(x): x² + 3 х – 10 = 0, x 1 = 5; x 2 = 2. х –5– \\\\\\\\\\\\\\\\\\ //////////////////////////////// 4) Знаки f(x) = (x + 5)(х – 2) : 5) Итак, x² + 3 х –10 0,х 5; х 2.

Значит, заданное выражение имеет смысл при всех х 5; х 2. Ответ: при х 5; х 2.

Сделаем некоторые обобщения Сделаем некоторые обобщения

1 Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель, то говорят, что х 0 корень многочлена кратности k. 1) Данный многочлен имеет корни: x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1; x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5. 2) Нанесем эти корни на числовую ось. 3) Определим знак многочлена на каждом интервале. 4) Запишем ответ: 5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности. Задача 4. Решить неравенство х –5–5–2– //////////////////////////////////////////// М НММН

Обобщая наблюдения, делаем выводы: При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется). 2 При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется). 3 Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом