Тема: «Решение квадратных неравенств, содержащих параметр» Цель: получить алгоритм решения квадратных неравенств, содержащих параметр, увидеть его применение Дома: решение двух неравенств (по выбору)с оформлением решения одного из них в виде презентации

Определение Каждое из неравенств вида : m x² + p x+ q > 0, m x² + p x+ q < 0, m x² + p x+ q 0, где m, p, q – числа или функции от параметра, х – переменная, причём m 0, называется квадратным неравенством с параметром

Примеры квадратных неравенств, содержащих параметр 1. mх² + (2m – 3)х + m (b + 1)х²+(2b – 1)х + b + 2> 0 3. х² – (3 а + 6)х + 2 а² + 11 а + 5<0 4. cх² – 2(2c + 1)х +3c² + 8c – 3>0 5. (k – 2)х² – 2kх + 2k– 3<0 6. nх² – 2nх – 1<0 7. ах² + 4 х + а + 3<0

Знаем, что квадратичная функция задаётся формулой y = a x² + b x + c, где а 0. Решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. Напомним «поведение» параболы y = ax² + bx + c в зависимости от значения a и дискриминанта.

х х х х х х у у у у у у D>0 D<0 D=0D=0 D=0D=0

Решить неравенство mx² + (2m+1)x + m + 2>0. Решение. 1) m=0, тогда: х+2>0, х > -2. 2) m0; D=(2m + 1)² 4m(m + 2)= = 4m² + 4m + 1 4m² 8m = 1 4m. 1 4m = 0, 4m = 1, m =, то есть D=0 при m = Знаки D: + m 0 +

mx² + (2m+1)x + m + 2 > 0, D=1 4m. Находим корни квадратного трёхчлена: D=0 при m =, тогда = 3. m 0 D>0 D<0

3) Решаем исходное неравенство для каждого из случаев: итак, при, т. е. при решение неравенства:

, т. е при решение неравенства: где, т. е. при решение неравенства

4) Решаем исходное неравенство для каждого из случаев: итак, при, т. е при решение неравенства

Для каждого m покажем решение исходного неравенства 5) Записываем ответ. m 0

Алгоритм решения квадратного неравенства, содержащего параметр 1. Решить неравенство при условии, что первый коэффициент равен нулю (при m=0). 2. Найти дискриминант, определить его знаки в зависимости от параметра; найти корни квадратного трёхчлена, учитывая при всём этом, что m Решить неравенство, если:

4. Решить неравенство, если: 5. Записать ответ.

Задания для домашнего решения 1. ах² + (2 а – 3)х + а (а + 1)х²+(2 а – 1)х + а + 2> 0 3. х² – (3 а + 6)х + 2 а² + 11 а + 5<0 4. ах² – 2(2 а + 1)х +3 а² + 8 а – 3>0 5. (а – 2)х² – 2 ах + 2 а – 3<0 6. ах² – 2 ах – 1<0 7. ах² + 4 х + а + 3<0

8. ах² – 2 ах – х² – (а+2)х + 8 а + 1> bх²+ 4bх bх² + (2b+3)х + b – (4 – b²)х² + 2(b+2)х – 1 > (а+2)х²+ 2(а+2)х +2 > (p-3)х² – 2pх + 6p < а(а + 1)х²+ х – а(а – 1) ах² – 2(а ² – 3)х – 12 а 0 17.(а + 1)х² – (а – 1)х – 2 а > 0