Підготувала Пилип Н.В.

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ y = sin x, y = cos x, їх графіки та властивості y 1 -1 x

Синус (від лат. sinus) – вигин, кривизна.

Означення тригонометричних функцій sin α = y ордината точки P α cos α = x абсциса точки P α x y P α (x;y) α

Побудова графіка функції y = sin x

Графік функції y = sin x Графіком функції y = sin x є крива, яка називається y 1 -1 x СИНУСОЇДА

Властивості функції y = sin x Область визначення D(sin x) = R Множина значень E(sin x) = [-1; 1] Парність або непарність: функція y = sin x непарна sin(-x) = -sin x (графік функції симетричний відносно початку координат) Періодичність: функція y = sin x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2 sin (x + 2 ) = sin x y 1 -1 x

Властивості функції y = sin x Точки перетину графіка функції y = sin x з осями координат: y 1 -1 x б) з віссю ОY: f(0) = sin 0 = 0 (точка (0; 0)) а) з віссю ОХ (нулі функції): у = 0, sin x = 0, якщо х = n, n Z

Властивості функції y = sin x Проміжки знакосталості: y 1 -1 x sin x > 0, якщо х (0 + 2 n; + 2 n), n Z sin x < 0, якщо x ( + 2 n; n), n Z

Властивості функції y = sin x Проміжки монотонності: y 1 -1 x а) функція зростає в кожному з проміжків: x [- /2 + 2 n; /2 + 2 n], n Z б) функція спадає в кожному з проміжків: x [ /2 + 2 n; 3 /2 + 2 n], n Z

Властивості функції y = sin x Екстремуми функції: y 1 -1 x Х мах = /2 + n, n Z, Y мах = 1 Х мin = - /2 + 2 n, n Z, Y мin = -1

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (x + /6) Для побудови графіка функції y = sin (x + а) необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (x - /6) Для побудови графіка функції y = sin (x - а) необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin x + 1 Для побудови графіка функції y = sin x + а необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin x - 1 Для побудови графіка функції y = sin x - а необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = - sin x Для побудови графіка функції y = - sin x необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (-x) Для побудови графіка функції y = sin (-x) необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = | sin x | Для побудови графіка функції y = | sin x | необхідно додатну частину графіка функції y = sin x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin | x | Для побудови графіка функції y = sin | x | необхідно побудувати графік функції y = sin x при x0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 2 sin x Графік функції y = k sin x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0<k<1

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 1/2 sin x Графік функції y = k sin x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0<k<1

Перетворення графіків функції y = sin x Побудувати графік функції y = sin 2x Графік функції y = sin k x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0<k< x

Перетворення графіків функції y = sin x Побудувати графік функції y = sin 1/2x Графік функції y = sin k x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0<k< x

Побудова графіка функції y = cos x y 1 -1 x Графік функції у = cos x одержується перенесенням графіка функції у = sin x вліво на π/2. sin (x + π/2) = sin x cos π/2 + sin π/2 cos x = cos x

Графік функції y = cos x y 1 -1 x Графіком функції y = cos x є крива, яка називається КОСИНУСОЇДА

Властивості функції y = cos x Область визначення D(cos x) = R Множина значень E(cos x) = [-1; 1] Парність або непарність: функція y = cos x парна cos(-x) = cos x (графік функції симетричний відносно осі OY) Періодичність: функція y = cos x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2 cos (x + 2 ) = cos x y 1 -1 x

Точки перетину графіка функції y = cos x з осями координат: y 1 -1 x Властивості функції y = cos x а) з віссю ОХ (нулі функції) у = 0, cos x = 0, якщо х = n, n Z б) з віссю ОY: f(0) = cos 0 = 1 (точка (0; 1))

Властивості функції y = cos x Проміжки знакосталості: y 1 -1 x cos x > 0, якщо х (- + 2 n; + 2 n), n Z cos x < 0, якщо x ( + 2 n; n), n Z

Властивості функції y = cos x Проміжки монотонності: y 1 -1 x б) функція спадає в кожному з проміжків: x [2 n; + 2 n], n Z а) функція зростає в кожному з проміжків: x [- + 2 n; 2 n], n Z

Властивості функції y = cos x Екстремуми функції: y 1 -1 x Х мах = n, n Z, Y мах = 1 Х мin = + 2 n, n Z, Y мin = -1

Перетворення графіків функції y = cos x Перетворення графіків функції y = cos x відбувається аналогічно перетворенню графіків функції y = sin x

y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – /2) 1) будуємо графік функції y = cos x 2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції y = cos x у 2 рази до вісі OY 3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції y = cos 2x у 2 рази від осі OX 4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – /4), паралельно переносячи графік функції y = 2 cos 2x вправо вздовж осі OX на відстань /4 Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – /4)

Практичне застосування тригонометричних функцій Синусоїда – хвилеподібна плоска крива, яка є графіком тригонометричної функції y = sinx в прямокутній системі координат. Якщо рулон паперу розрізати навскоси і розвернути його, то край паперу виявиться розрізаним по синусоїді. Цікаво, що проекція на площину гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.

Зміна будь-якої величини за законом синуса називається гармонійним коливанням. Приклади таких коливань: коливання маятника, коливання напруги в електричній мережі, зміна струму і напруги в коливальному контурі та ін. Практичне застосування тригонометричних функцій Ще один приклад синусоїдальних коливань – звук (гармонійне коливання повітря), що відповідає коливанню y = A*sin ωt