Выполнила : ученица 9 класса Искорцева Анна МКОУ «Свердловская средняя общеобразовательная школа» 2013 г.

Цель : Изучить свойства треугольника Паскаля. Задачи : Собрать и обобщить теоретические сведения по теме исследования ; Классифицировать приемы, используемые при решении задач с использованием треугольника Паскаля ; Провести исследование по выявлению задач решаемых с помощью треугольника Паскаля ; Смоделировать программу построения треугольника Паскаля.

В 1653 году ( в других источниках в 1655 году ) вышла книга Блеза Паскаля « Трактат об арифметическом треугольнике ». В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года. Среди предметов, положенных в пирамиду, где 35 веков тому назад был похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли разграфленную доску с 3 горизонталями и 10 вертикалями, что представляет собой начальные строки треугольника Паскаля.

В 1303 году была выпущена книга « Яшмовое зеркало четырёх элементов » китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций ; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй ( поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя ). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля.

Свойство 1 Внешние диагонали состоят из 1. Свойство 2 Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Свойство 3 Треугольник Паскаля бесконечен … Свойство 4 Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Свойство 5 2- ые диагонали натуральные числа и ряда

Свойство 6 Сумма чисел в каждом ряду увеличивается в 2 раза. Свойство 7 Если между числами чередовать «-» и «+», то значение полученного выражения будет равно 0.

Свойство 8 Сумма чисел натурального ряда равна числу, стоящему ниже числа данного ряда Свойство 9 Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)^n..

Задача 1 Возведите в степень : (u + v) 5. Решение Мы используем 5- й ряд треугольника Паскаля : Тогда у нас есть u 5 + 5u 4 v + 10u 3 v u 2 v 3 + 5uv 4 + v 5.

Задача 2 Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема ? Решение Для ответа необходимо найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35

Задача 3 Представьте себе, вы отправляетесь в путешествие со своим другом на поезде. Договорившись играть до 10 побед, каждый сделал ставку в 16 конфет. Добравшись до станции назначения, ваш друг выиграл 6 партий, а вы – 8. Встает вопрос : как поделить выигрыш ? Решение Определим количество недостающих партий до 10 побед. У вашего друга – 4, у вас – 2, всего 6. Найдем в треугольнике строку, с шестью элементами. Сумма всех элементов этой строки равна 32. Вашему другу полагается 6 (1+5) долей из 32. Вам соответственно 26 ( ) долей из 32.

Задача 4 Предположим, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Решение Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существует различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5- й диагонали и 10- й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10- й строке, мы найдем число возможных исходов Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256

uses crt; const n=14; type vector = array[0..14] of Integer; var v1,v2:vector; i,j:integer; X,Y:byte; begin clrscr; gotoXY(26,1);writeln(' Треугольник Паскаля '); gotoXY(37,3);write('1'); gotoXY(34,6);write('1 1'); v1[0]:=1;v1[1]:=2;v1[2]:=1; gotoXY(28,5); for i:=0 to 2 do write(v1[i]:5); Y:=6;X:=26; for j:=3 to n do begin for i:=0 to n do v2[i]:=v1[i]; for i:=0 to n do begin if (i=0) or (i=j) then v1[i]:=1 else if i < j then v1[i]:=v2[i-1]+v2[i]; end; gotoXY(X,Y); for i:=0 to j do write(v1[i]:5); Y:=Y+1;X:=X-2; end; readln; end.

Program Sierp10; Uses CRT, Graphabc; Var gd, gm: Integer; l, x, y: Real; Begin While not Keypressed Do Begin l:=2/3*pi*random(3); x:=x/2+cos(l); y:=y/2+sin(l); PutPixel(220 + Round(x*100), Round(y*110), 14); End; Readkey; End.

Для меня данная работа имела большой познавательный интерес. Я изучила новые способы при решении комбинаторных задач. Особенно удивляют возможности компьютерного моделирования. Сколько еще неизведанных тайн хранит в себе программирование. Среди одноклассников интерес вызвало моделирование, ну и в связи с предстоящими экзаменами, это, конечно, тема формул сокращенного умножения.