ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ Поток вектора напряженности электростатического поля
С помощью линий напряженности электростатического поля можно охарактеризовать не только направление вектора Е, но и его модуль. Для этого линии напряженности проводят с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е.
Рассмотрим элементарную площадку dS, которую пронизывают линии напряженности однородного электростатического поля напряженностью E. Если напряженность Е перпендикулярна площадке, то число линий, пронизывающих площадку dS, равно EdS.
Если площадка составляет с Е некоторый угол α, то число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль п к которой образует угол α с вектором Е, равно ЕdScosα = E n dS, где Е п проекция вектора Е на нормаль п к площадке dS. Величину dФ E = E n dS = EdS называют потоком вектора напряженности сквозь площадку dS. Здесь dS = dSn - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали п к площадке. dS не является истинным вектором - это псевдовектор. Выбор направления вектора п (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону.
Единица потока вектора напряженности электростатического поля в СИ - вольт метр (Вм). 1 вольтметр равен потоку напряженности сквозь поверхность площадью 1 м 2, перпендикулярную линиям напряженности поля напряженностью 1 В/м.
. Для произвольной замкнутой поверхности S (во многих случаях в дальнейшем будут рассматриваться именно такие поверхности) поток вектора Е сквозь эту поверхность Часто в учебниках встречается запись тем не мене подразумевается, что интеграл двойной, так как берется по переменной второго порядка, по площади. Кольцо на знаке интеграла означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности S.
Поток вектора Е - алгебраическая величина: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления п. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимают внешнюю нормаль, т. е. нормаль, на правленную наружу области, охватываемой поверхностью.
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, пропорционален заряду Q Результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Пусть произвольная поверхность окружает n зарядов. Тогда, согласно принципу суперпозиции напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Поэтому Докажем, что для замкнутой поверхности любой формы, заключающей в себе точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Следовательно, Формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:
Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, коэффициент пропорциональности: единица, деленная на электрическую постоянную 0. Эта теорема выведена для векторного поля любой природы русским математиком Михаилом Васильевичем Остроградским (1826), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю Карлом Фридрихом Гауссом (1839).
Объемная плотность заряда Скалярная физическая величина, характеризующая количество заряда, приходящегося на единицу объема, называется объемной плотностью заряда. Суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V, Используя этот результат, получим и окончательно Теорема Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком вектора: напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность и суммарным зарядом, заключенным внутри этой поверхности. Применяя теорему Гаусса, во многих случаях можно рассчитать электростатическое поле, проще, чем применяя принципа суперпозиции.
Применение теоремы Гаусса к расчету поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Поверхностная плотность заряда Скалярная физическая величина, характеризующая плоскость с распределенным на ней зарядом, называется поверхностной плотностью заряда Рассмотрим бесконечную плоскость, равномерно заряженную с поверхностной плотностью σ. В силу симметрии вектор Е по обе стороны плоскости перпендикулярен ей и постоянен. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим небольшой замкнутый цилиндр c площадью основания S. Ось цилиндра перпендикулярна плоскости Образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Е п совпадает с Е. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания Е п совпадает с Е. Площади оснований равны. Полный поток, считая обе стороны плоскости, равен 2ES
согласно теореме Гаусса выразив E из этого уравнения получим : Из этой формулы следует, что поле равномерно заряженной плоскости однородно. Эта формула справедлива только для малых (по сравнению с размерами плоскости) расстояний от плоскости, так как только тогда плоскость можно считать бесконечной. Потенциал и напряженность электростатического поля связаны между собой соотношением Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х 1 и х 2 от плоскости, равна
Применение теоремы Гаусса к расчету поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей Рассмотрим две бесконечные параллельные плоскости, заряженные разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и -σ.Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности., Результирующая напряженность Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями равна удвоенной напряженности единичной плоскости, а вне объема, ограниченного плоскостями, напряженность поля равна нулю Верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательно заряженной. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е= 0. В области между плоскостями Е = Е + + Е -
Электростатическое поле между пластинами, линии напряженности которого «проявлены» с помощью железных опилок (опыты, известные из школьного курса). За пределами пластин поле отсутствует, оно сосредоточено между пластинами. Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d равна
Применение теоремы Гаусса к расчету поля равномерно заряженной сферической поверхности Рассмотрим сферическую поверхность радиусом R заряженную зарядом Q, равномерно с поверхностной плотностью +σ. Благодаря равномерному распределению заряда поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально. Мысленно построим сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Напряженность является функцией расстояния r от центра сферы. Она одинакова во всех точках, равноудаленных от ее поверхности. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле. По теореме Гаусса,
при условии Если r < R, замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов. Внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0). Таким образом, при r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда, а при r < R поле внутри заряженной сферы отсутствует.
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы при условии r > R если r 1 =r, а r 2 лежит в бесконечности, то Внутри сферы заряд отсутствует, напряженность нулевая, значит потенциал постоянен и равен значению на поверхности сферы
Применение теоремы Гаусса к расчету поля объемно- заряженного шара Рассмотрим шар радиусом R (общий заряд Q), заряженный с объемной плотностью. Построим вспомогательную сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженным шаром. Электростатическое заряженного шара имеет центральную симметрию (центр шара - центр симметрии поля). Напряженность одинакова во всех точках вспомогательной сферы радиусом r. Если r > R, то внутрь вспомогательной сферы поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, откуда при условии Таким образом, напряженность поля вне объемно- заряженного шара такая же, как и вне заряженной сферической поверхности, что можно было и ожидать исходя из соображений симметрии.
Внутри шара напряженность поля будет другая. Вспомогательная сфера радиусом r < R охватывает заряд, где Подставив эти условия в теорему Гаусса получим Учитывая Получим Напряженность поля внутри шара изменяется линейно с расстоянием r
Разность потенциалов между поверхностями r 1 и r 2 определяется, в зависимости от того как эти расстояния соотносятся с радиусом шара R. при R < r 1 < r 2 при r 1 < r 2 <R
Применение теоремы Гаусса к расчету поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом R, равномерно заряженный с линейной плотностью τ. Линейная плотность заряда - скалярная физическая величина, определяемая зарядом, приходящимся на единицу длины. Линии напряженности будут направлены с одинаковой густотой вдоль радиальных прямых, перпендикулярных оси цилиндра. Напряженность Е может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный цилиндр радиусом r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2πrlE., при r > R По теореме Гаусса
Если r < R. то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0. Напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением внутри цилиндра поле отсутствует. Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1, и r 2, от оси заряженного цилиндра (r 2 > r 1 > R),