Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

«Полное исследование функции»

Дана функция y = f(x). 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью Оу, нужно вычислить f(0). Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох, нужно решить уравнение f(х)=0.

Чётность функции 3. Определить функцию на четность или нечетность. Если выполняется равенство f(-x)=f(x), то функция четная,, если f(-х )= -f'(x), то функция нечетная, если ни одно из равенств не выполняется, то функция ни четная и ни нечетная.

4. Определить функцию на периодичность. 5. Исследовать функцию на монотонность и экстремум. 6. Исследовать функцию на перегиб. 7. Определить уравнение асимптот графика функции. 8. Найти дополнительные точки, если то необходимо. 9. Построить график функции.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: т.к. функция является многочленом; точка пересечения с осью О у - (0;-3),

точки пересечения с осью Ох можно не находить, т.к. мы получаем кубическое уравнение

следовательно, функция ни четная и ни нечетная

Функция не периодическая, так как представляет собой многочлен;

Знак производной

Значения функции

Экстремумы и интервалы монотонности (1;1) – точка максимума, (3;3) – точка минимума. Функция возрастает при и убывает при

Критические точки второго рода

График функции выпуклый при и вогнутый при Выпуклость, вогнутость

Точка перегиба ( 2;-1) – точка перегиба; 7. Так как функция многочлен, то асимптот нет

8. Найдем дополнительную точку 9. Построим график функции.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график

Решение: т.к. в точке х=2 знаменатель дроби обращается в нуль ; точка пересечения с осью Оу - (0;2,5),

точки пересечения с осью Ох – (-2,8;0), (1,8;0). следовательно, функция ни четная и ни нечетная;

4. Функция не периодическая, так как относится к классу дробно- рациональных функций

(1;3) – точка максимума, (3;7) – точка минимума. Функция возрастает при и убывает при

График функции выпуклый при и вогнутый при

Так как функция в точке х=2 не существует, то график точек перегиба не имеет; 7. Точка разрыва х=2. следовательно, х=2 – вертикальная асимптота,

следовательно, горизонтальной асимптоты нет,

у=х+3 – наклонная асимптота;

8. Построим график функции

Литература: