Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, - одна из самых увлекательных глав геометрии. Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, - одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник

Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой А А1А1А1А1 О Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе.А А1А1А1А1 a Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.aa a

Симметрия относительно плоскости А Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А1А1А1А1 О

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии).О АЦентрсимметрииО А Плоскость симметрии О А a А1А1А1А1 Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Центр, ось, плоскость симметрии фигуры. А1А1А1А1 Осьсимметрии А1А1А1А1

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре.

Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют элементами симметрии ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника. Апатит Золото Также форму октаэдра имеет монокристалл алюминиево-калиевых квасцов

Кальцит(двойник) Поваренная соль Лед NaCl Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, сурьмянистый сернокислый натрий – тетраэдра.

Альмандин Ставролит (двойник)

Кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, бор - икосаэдра. Сернистый колчедан FeS Бор

Правильный тетраэдр Правильный тетраэдр составлен их четырех равносторонних треугольников и в каждой вершине сходятся 3 ребра. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Сумма плоских углов при каждой вершине равна правильным, Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится равное число ребер. В каждом правильном многограннике сумма числа и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2. грани вершины ребра Г + В = Р < <

правильный тетраэдр Мы различаем правильный тетраэдр и правильную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все ребра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны ребрам основания пирамиды. «тетра» - 4 Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Осей симметрии – 3. Плоскостей симметрии – 6. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии. Элементы симметрии тетраэдра.

Куб Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна граней, 8 вершин и 12 ребер «кекса» - 6 Куб, кексаэдр. < 360 < 360 Куб имеет только один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей. Осей симметрии – 9. Элементы симметрии куба.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна «окта» - 8 Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер < 360 < 360

Правильный икосаэдр Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти правильных треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна «икоса» - 20 Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер < 360 < 360

Правильный додекаэдр Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна «додека» - 12 Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. < 360 < 360

Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» есть строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники).

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона. Платон 428 – 348 г. до н.э. Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

огонь воздух вода земля Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

вселенная Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Архимед 287 – 212 гг. до н.э. Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. усечённый тетраэдр, усечённый кексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр. Архимед описал полуправильные многогранники (архимедовы тела)

Множество Архимедовых тел разбито на несколько групп: с усеченной вершиной (усеченный тетраэдр, усеченный куб, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр); квази правильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа; «курносые» модификации – одна для куба (курносый куб), другая – для додекаэдра (курносый додекаэдр).

Усеченный тетраэдр Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины. Все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов (этим они и отличаются от платоновых тел, грани которых - правильные многоугольники одного типа). с усеченной вершиной

Усеченный куб Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники. Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду ( гг. до н. э), который впервые перечислил их. с усеченной вершиной

Кубооктаэдр Можно срезать вершины иначе. Получим кубооктаэдр. У кубооктаэдра можно снова срезать все его вершины получим усеченный кубооктаэдр. квази правильный

Усеченный октаэдр Срежем у октаэдра все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – квадраты. А из граней октаэдра получатся грани – шестиугольники. с усеченной вершиной

Можно срезать вершины иначе и получим новый полуправильный многогранник. квази правильный

Икосододекаэдр Ромбоусеченныйикосододекаэдр Срезав вершины икосаэдра, получим новые грани пятиугольники, а грани икосаэдра превратятся в шестиугольники. Усеченныйикосаэдр (футбольный мяч) Срезав вершины иначе получим другой многогранник, грани которого – пятиугольники и треугольники. каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого квази правильные с усеченной вершиной

Усеченный додекаэдр С додекаэдром работы больше. Надо срезать двадцать вершин. Грани усеченного додекаэдра – треугольники и десятиугольники. с усеченной вершиной

Курносый куб Курносыйдодекаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбокубооктаэдр До середины XX в. считалось, что архимедовых тел 13. Это число неточное, поскольку был открыт еще один равноугольный полуправильный многогранник, получивший название псевдо архимедово тело или многогранник Ашкинузе в честь его открывателя – российского ученого В.Г. Ашкинузе.

Литература. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. «Детская энциклопедия», том 2. Издательство «Просвещение», Москва Хотите узнать больше? Посетите сайты. %D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BE htm htm