Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств. АВТОР РАБОТЫ: УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ИБРАГИМОВ Р.Ф.

Глава 1. Решение показательных неравенств. Рассмотрим неравенство и неравенство, ему равносильное: Для его решения исследуем знак разности Итак, выясним, что следует из того, что 1)Если a > 1, то f( x ) > g( x ), а это значит, что ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0. 2) Если 0 0. Верно и обратное. Если то при имеем то есть а при получаем то есть Таким образом, мы доказали, что: Знак разности совпадает со знаком выражения А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

Пример. Решить неравенство Решение: имеем Заменим выражение вида, стоящее в каждой скобке, на выражение, имеющее с ним тот же знак: А значит, Равносильное неравенство имеет вид так как для всех x. Решая это неравенство методом интервалов, получаем Ответ:

Глава 2. Решение логарифмических неравенств Рассмотрим теперь неравенство и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f(x) > 0. Если a>1, то тогда и только тогда, когда f(x) > 1 в ОДЗ ( f(x) < 1), то есть Если 0 1), то есть опять Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f(x) > 1 в ОДЗ ( f (x) 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности: Знак совпадает со знаком выражения в ОДЗ (f(x) > 0). Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а 1 неравенство: Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных. Пример: Решить неравенство:

Решение: Ответ:

Рассмотрим случай,когда в основании логарифма есть переменная. Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а = 1 неравенство Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.

Пример: Решить неравенство: Решение: Записав условия существования каждого из выражений, заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства: Пользуясь методом интервалов, получаем: Ответ:

Рассмотрим еще один метод решения логарифмических неравенств, с различными основаниями. Суть метода приведение логарифмов к одинаковому основанию,большему 1 применение равносильного преобразования Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: Теперь остается воспользоваться преобразованием. Итак,

Пример: Решите неравенство: Последняя система легко решается методом интервалов. Ответ: (–2; –1];(1; 2). Не вызывает сомнений, что в ряде случаев изложенный метод позволяет решать логарифмические неравенства, содержащие переменную в основаниях логарифмов, быстрее и эффективнее других методов.

Заключение Рассмотренные методы решений неравенств способствуют быстрому и эффективному освоению математических знаний, формируют культуру математического мышления, развивают мотивацию к учебе. Следовательно, «Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств» являются продуктивным походом в формировании математических знаний, умений и навыков.

Литература 1. Куланин Е.Д., Федин С.Н. «5000 конкурсных задач по математике» – М.: Аст, 1999 г. 2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. «Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс» – М.: Просвещение, 1991 г. 3. Шестаков С.А. «Замени функцию». «Математика», 8/2002.