Деление многочленов Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Повторение Выполнить деление: 1). 3 х³ : 3 х² 2). 4 х² : 4 х 3). 6 х³ : 3 х 6). х³ : 3 х 5). 3 х² : 2 х² 4). х³ : 2 х² Выполнить вычитание: 1). 3 х³ 5 х² 6 х 3 х³ + х² 4 х 6 х² 2 х 2). 4 х² х х² 5 х 4 х + 5 3). 6 х³ + 11 х² 1 6 х³ + 9 х² 3 х 2 х² + 3 х 1

Многочлены 5 х² 6 х 2; 4 х³ + 2 х² 3 х записаны в стандартном виде, и показатели степеней буквы х расположены в порядке убывания. Тогда первый член многочлена это его старший член; показатель степени буквы х в старшем члене это степень многочлена; член многочлена, не содержащий буквы х это свободный член. 5 х² 6 х 2 это многочлен второй степени; 4 х³ + 2 х² 3 х это многочлен третьей степени.

Деление многочленов нацело При сложении, вычитании, умножении многочленов получается многочлен, например: 1. (5 х²+3 х+6)+( 3 х²+4 х 9)= 5 х²+3 х+6 3 х²+4 х 9 = 2 х²+7 х 3; 2. ( 2 х²+7 х) ( 3 х²+х+1)= 2 х²+7 х 3 х² х 1 = 5 х² + 6 х 1 ; 3. (х+5)(х² 3) = х³ 3 х + 5 х² 15. При делении многочлена на многочлен может получиться многочлен, тогда деление выполнено нацело.

Разделить многочлен 3 х³ 5 х² 6 х + 8 на многочлен 3 х² + х 4. Деление можно выполнить уголком, как и деление натуральных чисел: делимое первый остаток делимое делитель делимое частное делимое остаток 3 х³ 5 х² 6 х х² + х 4 х 3 х³ + х² 4 х 6 х² 2 х 2 6 х² 2 х Остаток равен нулю, поэтому многочлен 3 х³ 5 х² 6 х + 8 делится нацело на многочлен 3 х² + х 4, т. е. в результате деления многочленов снова получился многочлен. + 8

Алгоритм деления многочленов уголком 1. Расположить делимое и делитель по убывающим степеням переменной х. 2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен записать первым членом частного. 3. Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком. 4. Старший член этого остатка разделить на старший член делителя; полученный одночлен записать вторым членом частного и умножить его на делитель; результат вычесть из первого остатка; получим второй остаток и т. д. Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю.

Как и при делении чисел, результат деления многочленов можно проверить умножением. Если многочлен степени n 1 делится нацело на многочлен степени k 1, k n и в результате получается многочлен степени m 1, m n, то справедливо равенство Это равенство называют формулой деления многочлена на многочлена многочлен называют частным отделения на при этом обязательно, чтобы n = m + k.

х² 2 х 35 х 7 х х² 7 х 5 х х Найти частное (результат проверить умножением): 1) (х² 2 х 35) : (х 7);2) ( 4 х² х + 5) : (4 х + 5); 4 х² х х + 5 х 4 х² 5 х 4 х х (х + 5) (х 7) = х² 7 х + 5 х 35 = х² 2 х 35; (4 х + 5) ( х + 1) = 4 х² 5 х + 4 х + 5 = 4 х² х + 5.

1. Найти частное (результат проверить умножением): показать 6 х³ + 7 х² 6 х + 13 х 1 2 х² 6 х³ 2 х² 9 х² 6 х + 3 х 9 х² 3 х 3 х х (2 х² + 3 х 1) (3 х 1) =6 х³ 2 х² + 9 х² 3 х 3 х + 1 = = 6 х³ + 7 х² 6 х + 1

2. Найти частное (результат проверить умножением): показать 6 х³ + 11 х² 1 2 х² + 3 х 1 3 х 6 х³ + 9 х² 3 х 2 х² + 3 х х² + 3 х 1 0 = 6 х³ + 11 х² 1 (3 х + 1)(2 х² + 3 х 1) = 6 х³ + 9 х² 3 х + 2 х² + 3 х 1 =

показать 0 3. Выполнить деление:

4. Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х) на многочлен Q(x): 2 х³ + 3 х² 0 показать Ответ: делится, т. к остаток равен нулю.

5. Выяснить, при каком значении а многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(x): Р(х) = 5 х³ 9 х² + 13 х + а,Q(х) = 5 х + 1 Выполним деление уголком: 5 х³ 9 х² + 13 х + а 5 х + 1 х²х² 5 х³ + х² 10 х²+13 х 2 х 10 х² 2 х 15 х + а х + 3 а 3 По смыслу задания остаток а 3 должен равняться нулю, поэтому а 3 = 0, а = 3. Ответ: при а = 3.

7 х³ 22 х² + ах 1 х² 3 х х 7 х³ 21 х² + 7 х 7 х² 7 х+ ах х² + 3 х 1 ах 10 х По смыслу задания надо найти те значения а, при которых остаток ах 10 х = (а 10)х должен равняться нулю, поэтому а 10 = 0, а = 10. Ответ: при а = Р(х) = 7 х³ 22 х² + ах 1,Q(х) = х² 3 х + 1

7. Найти такой многочлен Q(х), чтобы многочлен Р(х) делился нацело на Q(х) и частное от деления равнялось М(х). 1) Р(х) = 4 х³ 5 х² + 6 х + 9,М(х) = х² 2 х + 3. Решение. По формуле деления должно выполняться равенство Р(х) = М(х) Q(х). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому и частному. Поэтому Q(х) = Р(х) : М(х) 4 х³ 5 х² + 6 х + 9 х² 2 х х 4 х³ 8 х² + 12 х 3 х² 6 х х² 6 х Ответ: Q(х) = 4 х + 3.

Деление многочленов с остатком Покажем деление многочленов в случаях, когда многочлены не делятся нацело. Разделить многочлен х³ х² 2 х + 4 на многочлен х² 3 х + 1. Выполним деление уголком: х³ х² 2 х + 4 х² 3 х + 1 х х³ 3 х² + х 2 х² 3 х х² 6 х х + 2 Дальнейшее деление невозможно, так как степень последнего остатка 1 меньше степени делителя 2. Ответ: частное х + 2, остаток 3 х + 2.

Формула деления многочлена степени n 1 на многочлен степени k 1, k n с остатком такова: Многочленназывают неполным частным, Деление многочленов с остатком многочлен называют остатком. При этом степень частного m = n k, степень остатка l < k.

1. Написать формулу деления многочлена Р(х) на многочлен Q(х): 3) Р(х) = 6 х³ + 3 х² 4 х + 3,Q(х) = 2 х + 1 Решение. Формула деления: Выполним деление Р(х) на Q(х) с остатком: 6 х³ + 3 х² 4 х х + 1 показать 3 х² 6 х³ + 3 х² 4 х х 2 5 Р(х) = (3 х² 2) Q(х) + 5,

Решение. Выполним деление Р(х) на Q(х) с остатком R(x) : х³ 3 х² 2 х² + 5 показать 0,5 х х³ + 2,5 х 3 х² 2,5 х 1,5 3 х² 7,5 2,5 х + 7,5 Ответ: частное М(х) = (3 х² 2); остаток R(х) = 2,5 х + 7,5. 2. Найти частное М(х) и остаток R(x) от деления многочлена Р(х) на многочлен Q(х): 2) Р(х) = х³ 3 х²,Q(х) = 2 х² + 5

3 Найти такой многочлен Q(х), чтобы при делении многочлена Р(х) на Q(х) частное было равно М(х) и остаток был равен R(x). Решение. По формуле деления должно выполняться равенство Р(х) = М(х) Q(х) + R(x). Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому, частному и остатку. Поэтому 2 х³ 3 х + 5 =(2 х 4)Q(х) + 5 х + 5, (2 х 4)Q(х) = 2 х³ 3 х 5 х, откуда Q(х) = (2 х³ 8 х) : (2 х 4). Р(х) = 2 х³ 3 х + 5,М(х) = 2 х 4,R(х) = 5 х + 5.

Выполним деление:2 х³ 8 х 2 х 4 х²2 х³ 4 х² 4 х² 8 х + 2 х 4 х² 8 х 0 Ответ: Q(х) = х² + 2 х.

Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере, затем запишем алгоритм

Многочлен 1 х³ 1 х² 8 х + 6 1) разделить на х 3 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) - й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.