Лекция 3 Еще раз Вариационные принципы механики

Свойства функции Лагранжа Задача двух тел в механике Задача Кеплера Классификация решений Уравнения механики для абсолютно твердого тела

1. Свойства функции Лагранжа Функция Лагранжа определена с точностью до слагаемого, представляющего собой полную производную от произвольной функции координат и времени. Система материальных точек

2. Задача двух тел в механике Поместим начало отсчета системы в центр инерции.

В полярных координатах т.е. L в явном виде не содержит обобщен- ной координаты. Такие координаты называются циклическими. что совпадает с M z –проекцией момента импульса (относительно центра поля). Этот закон называют законом площадей, поскольку допускает интерпретацию, совпадающие со вторым законом Кеплера (секториальная скорость)

3. Задача Кеплера 4. Классификация решений

Равенство соответствует точкам поворота, когда и r(t) переходит от уменьшения к увеличению и наоборот В этом случае имеются действительные корни, причем: Т.е. при Е<0 оба корня и положительны. В этом случае движение финитно. Если Е > 0,то корни имеют разные знаки (движение инфинитно – траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконечность).

Р и е – параметр и эксцентриситет орбиты. Если Е < 0, е < 1 траектория – эллипс, движение финитно. Наименьшему допустимому Е соответствует е = 0. Эллипс превращается в окружность.

Е > 0 е > 1 движение инфинитно, траектория – гипербола. Е = 0 е = 1 траектория парабола

Период движения : Квадрат периода ~ кубу линейных размеров орбиты:

5. Уравнения механики для абсолютно твердого тела

Свободное вращение симметричного волчка

Земля, приплюснутая около полюсов Период свободной прецессии равен 300 дням. На самом деле Т = 427 дней. Не путать свободную прецессию с медленной прецессией нормали к эклиптике (предварение равноденствия) Т = лет.