Автор: Сергеенкова И.М., ГБОУ Школа 1191, г. Москва Решение задач с помощью кругов Эйлера

Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью кругов Эйлера Круги Эйлера Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью. Школа 5-ые классы 9-ые классы 9 «А» класс Круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач.

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в голубой овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу. Игрушка Конструктор Заводная игрушка Заводной автомобиль Пример.

Задача 1. "Обитаемый остров" и "Стиляги" Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров» 11 человек смотрели фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Решение: Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение: Чертим два множества таким образом: 6 «Стиляги» «Обитаемый остров» 6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». Получаем: «Стиляги» «Обитаемый остров» 95 6 Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

Задача 2. «Гарри Поттер, Рон и Г ермиона» На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон? Решение Решение:

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: Решение: Гермиона Рон Гарри Поттер Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. Ответ. 8 книг прочитал только Рон. 11 8

Задача 3. «Экстрим» Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? Решение:

Ролики Скейтборд Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят =80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Сноуборд Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача 4. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор ? Считается, что все вопросы выполняются практически одно- временно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области. крейсер линкор Опираясь на условия задачи, составим уравнения: Крейсер | Линкор: = 7000 Крейсер: = 4800 Линкор: = 4500 Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что: = 7000, откуда получаем 3 = Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что: = 4500, откуда 2 = Ответ: количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор

Решите самостоятельно: 1). В таб­ли­це при­ве­де­ны за­про­сы и ко­ли­че­ство най­ден­ных по ним стра­ниц не­ко­то­ро­го сег­мен­та сети Ин­тер­нет. За­прос Най­де­но стра­ниц (в ты­ся­чах) Пуш­кин 3500 Лер­мон­тов 2000 Пуш­кин |Лер­мон­тов 4500 Какое ко­ли­че­ство стра­ниц (в ты­ся­чах) будет най­де­но по за­ про­су Пуш­кин & Лер­мон­тов? Счи­та­ет­ся, что все за­про­сы вы­пол­ня­лись прак­ти­че­ски од­но­ вре­мен­но, так что набор стра­ниц, со­дер­жа­щих все ис­ко­мые слова, не из­ме­нял­ся за время вы­пол­не­ния за­про­сов. Ответ: 1000

Решите самостоятельно: 2). В таб­ли­це при­ве­де­ны за­про­сы и ко­ли­че­ство най­ден­ных по ним стра­ниц не­ко­то­ро­го сег­мен­та сети Ин­тер­нет. За­прос Най­де­но стра­ниц (в ты­с.) Пекин & (Москва | Токио) 338 Пекин & Москва 204 Пекин & Москва & Токио 50 Какое ко­ли­че­ство стра­ниц (в ты­ся­чах) будет най­де­но по за­ про­су Пекин & Токио? Счи­та­ет­ся, что все за­про­сы вы­пол­ня­лись прак­ти­че­ски од­но­ вре­мен­но, так что набор стра­ниц, со­дер­жа­щих все ис­ко­мые слова, не из­ме­нял­ся за время вы­пол­не­ния за­про­сов.

3). В таб­ли­це при­ве­де­ны за­про­сы и ко­ли­че­ство стра­ниц, ко­ то­рые нашел по­ис­ко­вый сер­вер по этим за­про­сам в не­ко­то­ ром сег­мен­те Ин­тер­не­та: Решите самостоятельно: За­прос Ко­ли­че­ство стра­ниц (тыс.) пи­рож­ное | вы­печ­ка пи­рож­ное 9700 пи­рож­ное & вы­печ­ка 5100 Сколь­ко стра­ниц (в ты­ся­чах) будет най­де­но по за­про­су вы­печ­ка. Ответ: 9600

4). В таб­ли­це при­ве­де­ны за­про­сы и ко­ли­че­ство най­ден­ных по ним стра­ниц не­ко­то­ро­го сег­мен­та сети Ин­тер­нет. Решите самостоятельно: За­прос Най­де­но стра­ниц (в ты­с.) Спар­так Красс 2000 Ди­на­мо Спар­так & Красс 1700 Спар­так & Ди­на­мо По за­про­су Ди­на­мо & Красс ни одной стра­ни­цы най­де­но не было.Какое ко­ли­че­ство стра­ниц (в ты­ся­чах) будет най­де­но по за­про­су Спар­так | Ди­на­мо | Красс ? Счи­та­ет­ся, что все за­про­сы вы­пол­ня­лись прак­ти­че­ски од­но­ вре­мен­но, так что набор стра­ниц, со­дер­жа­щих все ис­ко­мые слова, не из­ме­нял­ся за время вы­пол­не­ния за­про­сов. Ответ: 58300

5). В таб­ли­це при­ве­де­ны за­про­сы и ко­ли­че­ство най­ден­ных по ним стра­ниц не­ко­то­ро­го сег­мен­та сети Ин­тер­нет: Решите самостоятельно: За­прос Най­де­но стра­ниц(в ты­с.) Ильф & Пет­ров & Остап 800 Ильф & Пет­ров & Бен­дер 600 Ильф & Пет­ров & Бен­дер & Остап 440 Какое ко­ли­че­ство стра­ниц (в тыс.) будет най­де­но по за­про­су (Ильф & Пет­ров & Остап)|(Ильф & Пет­ров & Бен­дер)? Счи­та­ет­ся, что все за­про­сы вы­пол­ня­лись прак­ти­че­ски од­но­ вре­мен­но, так что набор стра­ниц, со­дер­жа­щих все ис­ко­мые слова, не из­ме­нял­ся за время вы­пол­не­ния за­про­сов. Ответ: 960 Подсказка

И Б П О Подсказка задачи 5.

Если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором: Совет: Что Я люблю делать Что у меня получается Чем я могу заработать Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Источники информации: