Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. (8 класс)

Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

А. Нивен

Квадратный трехчлен Квадратичная функция Квадратные уравнения Разложение квадратного трёхчлена на множители Разложение квадратного трёхчлена на множители

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Многочлен ax²+bx+c, где а, в, с – числа (коэффициенты), причем а 0 называется квадратным трехчленом Причем: а – старший коэффициент, в - второй коэффициент с – свободный член

1) 2 х² - 6 х + 1 2) - 2 х² + 8 х – 5 3) 3 х² + 2 х 4)х² - 4 х + 7 5)- х² - 8 6)6 х² - х - 2 1)а =2; в = -6; с = 1 2) а =-2; в = 8; с = -5 3) а =3; в = 2; с = 0 4) а =1; в = -4; с = 7 5) а =-1; в = 0; с = -8 6) а =6; в = -1; с = -2

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция у = ax²+bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а 0 называется квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола

Ветви параболы у = ax²+bx+c направлены вверх, если а > 0, и вниз если а < 0 Как найти координаты вершины параболы? – абсцисса х вершины параболы вычисляется по формуле х = - в/2 а - ордината у вершины параболы вычисляется подстановкой найденной х в заданную функцию Осью симметрии параболы является прямая х = - в/2 а Запомним

1)у = 2 х² - 8 х + 1 2)у = - 2 х² +16 х – 5 1)Т.к. а =2 ; в =-8; с =1 то х = 8 : (2·2)=2 у= 2·2² - 8·2 + 1=-7 Значит: (2; -7) координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2 2) Т.к. а=-2; в=16; с=-5 то х = -16 : (2·(-2)) = 4 у = -2· 4² + 16·4 - 5 = 27 Значит: (4; 27) координаты вершины; ось симметрии: х=4

1) у = х² + 4 х + 5 2) у = 2 х² + 4 х 3) у = -3 х² + 6 х + 1 4) у = 3 х² - 12 х 5) у = х² + 6 х - 2 6) у = -2 х² + 8 х - 5 7) у = -4 х² - 8 х Проверим: 1) (-2; 1) 2) (-1; -2) 3) (1; 4) 4) (2; - 12) 5) (-3; - 11) 6) (2; 3) 7) (-1; 4)

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения Определение квадратного уравнения Классификация квадратных уравнений Классификация квадратных уравнений Способы решения квадратного уравнения Способы решения квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x - переменная, a, b, c – любые действительные числа, причем a0. (Почему?) Причем: а – старший коэффициент в - второй коэффициент с – свободный член

Квадратные уравнения Квадратные уравнения. неполное полное b = 0; x² + c = 0 ах² + b х + с = 0, а 0 c = 0; ax² + bx = 0 b = 0; c = 0; ax² = 0 приведённое x² + p x + q = 0, а=1

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D >0), либо 1 корень (если D = 0), либо вообще не иметь корней (если D <0)

Разложением на множители Выделением полного квадрата По формуле корней (универсальный способ)По формуле корней (универсальный способ) По теореме Виета По коэффициентам Графический Введение новой переменной

Вспомним: Например: х² + 6 х - 7 = 0. Решение: х² + 6 х -7 = 0. х² + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0 (х² + 6 х + 9) - 9 – 7 = 0 (х +3)² – 16 = 0. (х +3)² = 16. Значит: х +3 = 4 и х + 3 = -4. х = 1 х =-7. Ответ: 1; -7.

1)Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения и равное D = b²- 4ac. 2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение - если D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней;

- если D=0, то данное квадратное уравнение имеет единственный корень, который равен - если D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны

Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b 2 - 4ac = (-5) = 9. Так как D=9 > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x = 2 и x = 0,5 - корни заданного уравнения.

x 2 - 2x + 1 = 0. x 2 - 2x + 1 = 0. 2x 2 - 3x +5= 0. 2x 2 - 3x +5= 0. Проверим 1 уравнение: получили один корень х = 1, т.к. D = 0 Проверим 2 уравнение: уравнение не имеет действительных корней, т.к. D < 0

1) Выберите квадратные уравнения и определите значения их коэффициентов: А) 2 х² – 8 = 0; Б) -х² + 4 х + 1 = 0; В) 3 х³ + 2 х – 9 = 0; Г) 5 х – 3 х² +2 = 0; Д) х – 3 = 0; Е) 3 – 5 х² – х = 0; Ж) х² – х = 0. И) х² х = 0 2) По коэффициентам указать приведенные уравнения. 3) Из квадратных уравнений выбрать неполные и решить их.

1)Квадратные уравнения: А) 2 х² – 8 = 0, где а=2; в=0; с=-8 Б) -х² + 4 х + 1 = 0, где а=-1; в=4; с=1 Г) 5 х – 3 х² + 2 = 0, где а=-3; в=5; с=2 Е) 3 – 5 х² – х = 0, где а=-5; в=-1; с=3 Ж) х² – х = 0, где а=1; в=-1; с=0 И) х² х = 0, где а=1; в=-2; с=5

2) Приведенные квадратные уравнения: И) х² х = 0 3) Неполные квадратные уравнения: А) 2 х² – 8 = 0 и Ж) х² – х = 0 Решения: 2 х² – 8 = 0 и х² – х = 0 2(х² - 4)=0 х(х-1)=0 20; х² - 4 =0 х=0; х-1=0 х² = 4 х=0; х=1 х = ± 2

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Дано уравнение: Решение: Ответ:

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Теорема Виета: Если корни х и х приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0, то х + х = - p, а х · х = q. Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х² + px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х и х являются корнями приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х + х = - p, х · х = q.

Дано приведённое квадратное уравнение x²-7x+10=0 Решение Решение: методом подбора проверим числа 2 и 5. Их произведение равно 10 (т.е. свободному члену уравнения), а их сумма равна 7, (т.е. второму коэффициенту уравнения, но с противоположным знаком ) Значит эти числа и являются корнями данного уравнения. Ответ: 2 и 5

Решаем вместе: 1 ) х² - 15 х + 14 = 0 2) х² + 3 х – 4 = 0 3) х² - 10 х – 11 = 0 4) х² + 8 х – 9 = 0 Решить самостоятельно в парах: 1) х² + 8 х + 7 = 0 2) х² - 19 х + 18 = 0 3) х² - 9 х – 10 = 0 4) х² + 9 х + 20 = 0

1) х =-1 х =-7 2) х = 1 х = 18 3) х =-1 х =10 4) х =-4 х =-5

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

1)Если сумма коэффициентов равна 0, т.е. а + в + с = 0, то х = 1 х = с/а. 2) Если а –в + с = 0, то х = -1 х = -с/а. 3) Если а = с, в = (а ² + 1), то х = –а = - с х = -1/а = -1 /с. 4) Если а = с, в = - (а² + 1), то х = а = с х = 1/а = 1/с

1)2 х² - 5 х + 3 = 0 т.к. а+в+с = = 2–5+3=0, то х=1, Х=3:2=3/2=1,5 Ответ: 1; 1,5 2)3 х² + 8 х + 5 = 0 т.к. а-в+с= = 3-8+5=0, то х= -1, Х= - 5:3= - 5/3 Ответ: -1; -5/3

3)- 4 х² + 17 х - 4 = 0 т.к. а = с и в = (а²+1), то х= -а = 4, Х= - 1/а = - ¼ Ответ: 4; -0,25 4)8 х² - 67 х + 8 = 0 т.к. а = с и в = -(а²+1), то х= а = 8, Х= 1/а = 1/8 Ответ: 8; 1/8

1) 3 х² + 4 х + 1 = 0, 2) 5 х² - 4 х – 9 = 0, 3) 6 х² + 37 х + 6 = 0, 4) 7 х² + 2 х – 5 = 0, 5) 13 х² - 18 х + 5 = 0, 6) 5 х² + х – 6 = 0, 7) 7 х² - 50 х + 7 = 0, 8) 6 х² - 37 х + 6 = 0, 9) 7 х² + 50 х + 7 = 0.

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Решение: преобразуем Пусть у = х² и у = 4 Построим эти графики в одной координатной плоскости Ответ: х = -2; х = 2

1 вариант 1) х² + 2 х – 3 = 0 2) - х² + 6 х – 5 = 0 3) 2 х² - 3 х + 1 = 0 2 вариант 1) х² - 4 х + 3 = 0 2) -х² - 3 х + 4 = 0 3) 2 х² - 5 х + 2 = 0

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение Например: надо решить уравнение (2 х+3)² = 3(2 х+3) – 2. а = 2 х + 3. Решение: пусть: а = 2 х + 3. Произведем замену переменной: а² = 3 а - 2. Тогда получим уравнение а² - 3 а + 2 = 0 и у него D > 0. Решим квадратное уравнение и получим: а = 1, а = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: 1). если а = 1, то 2 х + 3 = 1 и тогда х = - 1; 2). если а = 2, то 2 х + 3 = 2 и тогда х = - 0,5 Ответ: -1; -0,5.

а) (х² - х)² - 14(х² - х) + 24 = 0; б) (2 х - 1) - (2 х - 1)² - 12 = 0 Проверим ответы: а) б)

1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни х и х, то квадратный трехчлен ax²+bx+c, раскладывается на множители следующим образом: ax²+bx+c= а·(х - х)(х - х).

1 вариант 1) х² - 11 х ) х² + 7 х ) - х² - 8 х + 9 4) 3 х² + 5 х - 2 5) -5 х² + 6 х вариант 1) х² - 2 х ) х² + 3 х ) - х² + 5 х - 6 4) 5 х² + 2 х - 3 5) -2 х² + 9 х - 4

1 вариант 1) (х-8)(х-3) 2) (х+3)(х+4) 3) – (х-1)(х+9) 4) 3·(х-1/6)(х+13/6) 5) -5·(х-1)(х- 0,2) 2 вариант 1) (х-5)(х+3) 2) (х-2)(х+5) 3) - (х-2)(х-3) 4) 5·(х+1)(х- 0,6) 5) -2·(х-½)(х-4)

Сегодня на уроке я запомнил… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я узнал … Сегодня на уроке я выучил… Сегодня на уроке было интересно … Сегодня на уроке мне понравилось …