Свойства функций в пословицах и поговорках Выполнили: учащиеся 8 класса ГБОУ СОШ 4 Каримов Рафис и Федореева Регина

Цель исследования: Показать, что русские пословицы и поговорки наглядно иллюстрируют некоторые свойства функций и являются ярким примером того, что функция повсеместна в нашей жизни.

Задачи : Задачи : 1. Познакомиться с историей возникновения функции и понятием функции. 2. Выяснить, в каких пословицах и поговорках выражаются свойства функций. 3. Выяснить, как с помощью графика функций можно наглядно показать глубинный смысл русских народных пословиц.

Из истории возникновения функций Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) 1718 г - выдающимся швейцарский математик Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» г - определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

Определение функции: Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной или значением функции. Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»).

Свойства функции в пословицах и поговорках Свойства функции в пословицах и поговорках Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Возрастание функции. Возрастание функции. Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х 1 и х 2 из Х, таких, что х 1 f(x 1 ) f(x 1 ) < f(x2)). Данное свойство иллюстрируется графически на примере пословицы «Чем дальше в лес, тем больше дров».Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров).

«Чем дальше в лес, тем больше дров» «Чем дальше в лес, тем больше дров»

Неубывающая функция. Неубывающая функция. Определение: Если для любых х 1 и х 2 из множества Х таких, что х 1<х 2, справедливо неравенство f(x1) f(x2), то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х. «Каши маслом не испортишь» Количество каши можно рассматривать, как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, качество каши не понижается с добавкой масла. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

«Каши маслом не испортишь» «Каши маслом не испортишь» Количество масла Качествокаши Качествокаши

Убывающая функция. Убывающая функция. Определение: Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х 1 и х 2 из Х, таких, что х 1 f(x2) (короче: x1 f (x1) > f(x2)). Данное свойство функции иллюстрируется на примере пословицы « Кто пьет до дна, тот живет без ума » Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

«Кто пьет до дна, тот живет без ума» Меньше дружите со спиртными напитками, чтобы ваш ум всегда был ясным и вели вы здоровый образ жизни!

Ограниченные функции. Ограниченные функции. Определение: Функция f(х), определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x 1 ), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство mf(x)M. В противном случае функция называется неограниченной. Народная мудрость гласит «Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Выше меры конь не скачет» «Выше меры конь не скачет»

Максимум функции. Максимум функции. Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0), т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0. Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0), т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0. «Пересев хуже недосева» - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Пересев хуже недосева»

Вогнутость и выпуклость функции. Вогнутость и выпуклость функции. Если рост одной функции усиливается с ростом аргумента, то такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента. Если рост одной функции усиливается с ростом аргумента, то такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента. «Не круто начинай, круто кончай» «Не круто начинай, круто кончай» Если рост функции слабеет с ростом аргумента, то такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента. Если рост функции слабеет с ростом аргумента, то такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента. «Горяч на почине, да скоро остыл» «Горяч на почине, да скоро остыл»

«Не круто начинай, «Горяч на почине, круто кончай» д а скоро остыл» Время Работа Работа Работа Работа

Периодичность функции. Периодичность функции. Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x). Примером служат поговорки «Это сказка про белого бычка», «У попа была собака» Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс. Для синуса и косинуса период составляет 360 0, для тангенса –

«Сказка про белого бычка» «Сказка про белого бычка» - Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Расскажи. - Расскажи. - Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Так давай же! - Так давай же! - Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка? - Ну хватит! - Ну хватит! - Ты ну хватит… и так далее. - Ты ну хватит… и так далее.

Вывод: Вывод: Пословицы - это жизнь народа, человеческий опыт, просеянный через сито веков, духовный мир русского человека, его мысли, чувства и переживания. Пословицы - это жизнь народа, человеческий опыт, просеянный через сито веков, духовный мир русского человека, его мысли, чувства и переживания. Характерные свойства функций мы проиллюстрировали с помощью пословиц и выяснили, что это способствует лучшему усвоению основных свойств функций и глубокого понимания богатства смысла и краткости народного языка. Характерные свойства функций мы проиллюстрировали с помощью пословиц и выяснили, что это способствует лучшему усвоению основных свойств функций и глубокого понимания богатства смысла и краткости народного языка.

Список литературы. Список литературы. 1. Учебники «Алгебра 8», «Алгебра 9» 2. «Красавицы функции и их графики» Н.П. Токарчук 3. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. – М. 6. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», Ресурсы интернет

СПАСИБОЗАВНИМАНИЕ!